XX"siècle Symbole : opérateur pour: exemple: lu & P etO A Conjonction P&O pA Q p.Q V Disjonction PvO PouO...
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XX"siècle
Symbole : opérateur pour:
exemple:
lu
&
P etO
A
Conjonction
P&O
pA Q
p.Q
V
Disjonction
PvO
PouO
Conditionnel
P::::,Q
P->0
P implique 0,
s, P alors 0
Biconditionnel
P-0
P■O
P seulement 1lon, si 0
P si et seulement 1i 0
Négation
., p
-P
non P
::::,
➔
•
.,
- p
A, Logique des propositions (ou logique des connecteurs)
Symbole : désignation
symbolisent:
Constantes de prédicats
F, G, H
a, b, c
Constantes prédicatives
Variables d'individus
x , y, z
V Quantificateur universel
"
expressions de prédicats (" ...
est grand")
noms propres
places pour des noms propres
"pour tout ..
• "pour tous les...
•
"(V x)F x· = pour tout x.
Fest vrai de x
· our quelques ·ou· Il existe un...•
• r,3 xtG x· = pour quelques x, G est vrai de x
La classe des, le paradigme des
est élément de, a la propriété
3
Quantificateur existentiel
À
Opérateur de classa
Copule
V
E
A, logique des prédicats (ou logique des quantificateurs)
A
Les symboles et les concepts importants de la logique moderne
➔Q
Modus ponens
...f
-
-
Syllogisme
hypothétique
�
Modus tollans
fil
Syllogisme
disjonctif
?
B, les syllogismes importants
B
Syllogismes et tables de vérité
p
Q
IIP->01
&
Pl
➔
Q
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F.
F
(2)
V
V
V
V
(3)
V
V
V
(1)
V
F
V
F
(1)
F
(2)
F
1
F
F
B, la table da vérité du modus ponens
p
Q
R
IIP-+ 01
&
(0-+Rll
-+
(P-+ RI
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
(1)
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
(2)
(11
(3)
F
V
F
B, la table de vérité du syllogisme hypothétique
F
V
V
V
V
F
V
(2)
La logique moderne du XX" s.
a d'abord été nom
mée logistique (calcul), mais désormais on parle de
Logique mathématique ou symbolique comme les
mathématiques, elle travaille avec des symboles.
Après GEORGE BOOLE (1815-1864, us Lois tu la
pensée, 1854) et ERNST SœRôDER (Leçons SUT
l'algèbre tu la logique, 1890), on reconn&1"'t en
GOT11.0B FRF.GE (cf.
p.
217) le principal fondateur
de la logique moderne : ses travaux sur la Begriffs
schrift (idéographie) et les FondemLnJs tu I' arith
métique ont profondément transformé la logique.
D
parvient à une symbolisation adéquate en introdui
sant la quantification et le calcul des prédicats.
D'autres représentants importants sont:
GIUSEPPE l'EANo (1852-1932), qui a montré, en
dégageant les axiomes de l'arithmétique, que les
énoncés mathématiques ne sont pas soumis à
l'intuition, mais uniquement déduits de prémisses.
GOT11.0B FRF.GE et BER11tAND RUSSEIL (cf.
p.
219),
qui ont cherché à établir que l'ensemble des mathé
matiques pures est réductible à la seule logique
ainsi développée: c'est le logicismL.
JAN BROUWER (1881-1966) propose unecooccption
inwitionniste des mathématiques, qui aboutit à rela
tiviser la ponée de certaines lois logiques, réputtts
universelles (pat exemple, le principe du tiers exclu).
DAVID HILBERT (1862-1943) a proposé une
conception formaliste : après avoir montré que la
non-contradiction de toutes les !Mories mathéma
tiques (notamment la géométrie) repose sur celle
de l'arithmétique, il a entrepris de démontrer la
non-contradiction de l'arithmétique elle-même,
par l'étude des proprié� formelles des combi
naisons de symboles qui l'expriment.
Son échec débouchera sur les célèbres théo
rèmes de limitation de KURT GODEL (né en
1906) qui établissent l'impossibilité de démon
trer, avec les seuls moyens de la logique for
malisée, la non-contradiction d'une théorie
aussi fondamentale que l'arithmétique élémen
taire des nombres entiers.
La logique moderne est avant tout formalisée:
elle fournit des symboles, des règles pour la
combinaison des symboles,....
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