Nombres et Opérations 1) Les Entiers Naturels Deux mouvements de pensée sont à l'origine de l'idée de nombre : - L'idée ordinale du nombre : dans ce cas, chaque objet est considéré comme particulier : chaque mot désigne un objet et chaque nombre a un statut de numéro.

« * ** Pa r exem ple, da ns un système de n umération d écim ale, on r egroupe d’abord les éléme nts par d ix : la no uvelle uni té d ’ordre sup érieur , la d izaine.

Et ai nsi d e suit e, on o bt ient des un ités de d iffé rents o rdr es, dont la c arac tér istiq ue est q u’une un ité d’ un ce rtai n ordr e co ntient dix u nités de l’or dre i mméd iatem ent i nféri eur u ni té simple 1 10° d izai ne 10 x 1 10 1 c en taine 10 x 10 10 2 m illier 10 x 10 x 10 ou 10 x 100 10 3 U n système de nu mération p eut êtr e fon dé sur le pr incipe d’u ne bas e unique : c’ est le cas du système d e numération de l’An cien ne Egypt e (u tilisat ion de h iéroglyphes don t la sign ifica tion est i nd épend ante de le urs positi ons).

De no mbreux systèmes de num ération fon dent leur éc ritur e sur l’ex istence d’u ne bas e pri nc ipale e t d’une base se condaire.

 L a nu mération d e posi tion L e pr incip e de p osition c onsist e à do nner des signif icat ions aux pl aces oc cupé es par les chi ffres : la v aleur d ’un chiffre est fo nctio n de sa pla ce occupé e da ns l’é critur e.

L ’abse nce d’u n certain o rdre d oi t êtr e symbolisée da ns l’écr iture : le symbole 0 est chargé de représen té cette a bsen ce.

U n tel système de n umération p ossède un p ouv oir p otent iel illimit é de r epr ésen tation des nomb res e nt iers : d ix ch iffres suffise nt pour cel a.

La longue ur de l’ écr iture re nseig ne sur l’ordr e de gr and eur d u nom bre.

* ** Le p ri nc ipe d ’une num érati on en base d ix (numér ation d écimale d e position) co nsiste à organiser la c ollect ion d’objets à d énombre r en r egrou pant ces d erniers pa r parquets de dix ( dizaines), puis p ar pa quets de d ix diza ines (c entaines), et a insi de sui te.

U ne fo is c es regr oupemen ts e ffe ctu és, on n ot e pou r cha qu e ord re le nom bre d’unités restan tes no n réu nies dans un reg roupem ent d ’ordre sup érieur .

Ch acun de c es nomb res, for cément i nférieur à d ix, est r eprésent é par un c hiffre.

L ’a bsenc e d’une u nité d ’un c ertain ord re est symbolisé pa r le zér o.

67 503 = (6 x 10 000) + ( 7 x 1 000) + ( 5 x 100) + ( 0 x 10) + ( 3 x 1) = (6 x 10 4 )+ ( 7 x 10 3 ) + ( 5 x 10²) + ( 3 x 10°) Da ns le no mbre 67 503, 7 est le chi ffre d es milliers mais le nomb re des millie rs est 67 P our simplif ier la n umé ration orale e t pour fa ciliter la lec ture de l’é critur e des no mbres, o n crée d es cl asses d’unités par t ranch e de t rois ch iffr es.

L ’ar ithmét ique, sc ience d es nombr es Déf inition d e l’ensemble d es ent iers n at urels De ux déf initi ons axi omat iques des ent iers n at urels sont néc essair es pour c erner les aspe cts car dinal e t or dinal : - u ne v ersio n formalist e liée à l’aspe ct cardinal des n ombres en tiers - u ne v ersio n plus in tuitive lié e à l’asp ect ordinal des nom bres entiers, les axiom es de Pe ano C es deux d éfinit ions se co mplèt ent.

N : e nsemble d es ent iers na turels Z : e nsemble d es ent iers rel atifs Q : ens emble des en tiers rat ionnels D : ens emble des dé cimaux R : e nsemble d es nombr es réels L ’e nsemble des en tiers nat ur els es t to talem ent ordonné Q uels que so ient les entiers a et b, on a soit a ≤ b, so it a ≥ b On a a ≤ b si et seuleme nt s’il exist e un entier n aturel c t el que b = a + c (si c = 0, a = b ) De ux nomb res cré en t en tre e ux un e différence.

L a co mpa raison des en tiers nat ur els n éc essit e l’existe nce d’u ne opération d ans N, l’ad dition D’u n po int d e vue car dinal, on p eut com parer les car din aux de deux ensembles en é ta blissant u ne c orr espon dance t erm e à te rme entre les deux e nsembles (pro cédur e de c omparaison mob ilisable p ar des e nfants de ma ternelle).

D’u n po int d e vue ord inal, a < b si et se uleme nt si « a vi ent a vant b » d ans la suite des nomb res.

≤ est un e relation d’ ordre. »