Ministère de l'éducation nationale, de l'enseignement supérieur et de la
Publié le 05/04/2015
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Mathématiques
MAT-07-PG4 Page : 2/9
Exercice 1 (4 points)
Un nombre entier naturel N est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs
autres que lui-même.
Par exemple, 28 est un nombre parfait.
En effet les diviseurs de 28 sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 et
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
1) Montrer que 6 et 496 sont des nombres parfaits.
2) 120 est-il un nombre parfait ? Justifier votre réponse.
3) On admet qu’un nombre entier pair N est parfait si et seulement si il est de la forme :
N = 2
n (2 n+1 – 1), n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que (2 n+1 – 1) soit un nombre
premier.
a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4.
Quels résultats retrouve-t-on ?
b) On donne ci- dessous la liste des nombres premiers compris entre 100 et 150.
En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur
au nombre 496.
Nombres premiers compris entre 100 et 150 :
101 ; 103 ; 107 ;109 ; 113 ;127 ;131 ;137 ;139 ;149
Exercice 2 (4 points)
Soit ABCD un carré de centre O et de côté 9 cm.
On note I et J les milieux respectifs des côtés [AB] et [BC], puis E et F les points d'intersection
de la droite (AC) avec respectivement les droites (DI) et (DJ).
La perpendiculaire en E à la
droite (AC) coupe (AB) en H ; la perpendiculaire en F à la droite (AC) coupe (BC) en G.
On considère alors le quadrilatère EFGH.
1.
Construction
Tracer le carré ABCD et les points I et J en vous aidant du quadrillage de la copie (un
carreau de la copie correspond à une longueur de 5 mm).
Compléter la figure par une construction à la règle et au compas.
On laissera apparents les
traits de construction.
2.
L'objectif de cette question est de prouver que EFGH est un carré.
a.
Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABD.
En déduire la valeur du rapport
AE
AO puis prouver que AE
AC =3 1
.
b.
Montrer que AE =32 cm.
c.
Quelle est la nature du triangle AEH ? Justifier la réponse.
En déduire que EH
=32 cm.
d.
On rappelle qu’une diagonale d’un carré est un axe de symétrie de ce carré.
Indiquer sans justification les symétriques respectifs des points E et H par rapport à
l’axe (DB).
En déduire les longueurs FG, FC puis la longueur EF.
e.
Conclure sur la nature du quadrilatère EFGH.
Justifier la réponse..
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