Maths suite

« contrˆ ole de math ´ ematiques E xercice 5 Tableau excel (7 points) On considère deux suites ( u n) et ( v n) : • la suite ( u n) dénie par u 0 = 1 et ∀n ∈ N, u n+ 1 = 2u n − n+ 3 ; • la suite ( v n) dénie par : ∀n ∈ N, v n = 2n . Partie A : Conjectures Camille a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-contre. A B C 1 rang n terme u n terme v n 2 0 1 1 3 1 5 2 4 2 12 4 5 3 25 8 6 4 50 16 1) Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 po ur obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? 2) Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Camille obtient les résultats suivants : Conjecturer les limites des suites : (u n) et u n vn ! . 12 10 3 080 1 024 13 11 6 153 2 048 14 12 12 298 4 096 15 l3 24 587 8 192 Partie B : Étude des suites (u n) et  u n vn  1) Démontrer par récurrence que, ∀n ∈ N, u n = 3× 2n + n− 2. 2) Déterminer la limite de la suite ( u n) . 3) En remarquant que u n vn = 3+ n − 2 2n , démontrer que la suite u n vn ! est décroissante à partir du rang 3. 4) On admet que, pour tout entier nsupérieur ou égal à 4, on a : 0. »