Les suites géométriques L'essentiel du cours Définition d'une suite géométrique • Une suite est dite...
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Les suites géométriques
L'essentiel du cours
Définition d'une suite géométrique
• Une suite est dite géométrique lorsque l'on peut déduire chaque te rme du
précédent en le multipliant par un réel consta nt.
Elle est donc géométrique s' il
existe une consta nte q te lle que, pour tout entier naturel n, un., =un" q.
La
co nstante réelle q est appelée la ra ison de la suite.
• Pour démontrer qu'une suite (u.) est géométri que, on montre que, pour tout
entier naturel n, un., =un" q où q est une constante indépendante den.
u
• On évit era de ca lcu ler le rapport __!!!_!_, qui n'existe pas si l'un des termes de la
suite est nul.
un
• Pour démontrer qu ' une suite n'est pas géomét r ique, il suffi t d' un contre•
exemple : en général, le calcu l des trois premiers termes de la sui te suffit.
Terme général d'une suite géométrique
Si le premier terme d'une suite géométrique (u.) est u0 et sa raison q, alors le
terme général de cette suite est un =u0 " qn pour tout entier naturel n.
Exemple
Soit ne N .
La vale ur acquise c.
au bout de n périodes par un cap ita l C0 placé
au t aux périodique de t % à intérêts composés est le terme général d'une suite
géométriq ue de prem ier terme C0 et de ra ison
pour tout entier naturel n.
(1
(1 _t_ Jn
+ _ t_ )_ On a : en=
lOO
+
C0
100
Somme des termes d'une suite géométrique
• Pour une suite géométrique (u.) de raiso n , la somme des premiers te rmes est
le produit du premier t erme par le quotient de 1 - q nombredemmes par 1-q :
l - qn•l
u0 + u0 "q + ...
+ u0 " q" = u0 x - - - (somme de n+ 1 termes).
1 -q
• Si la raison q est égale à 1 (q = 1), la suite (u.) est stationnaire et la somme des
premiers termes est alors le produ it du premier terme par le nombre de term es, soit :
l/O + l/O X 1 + ...
+ l/O X 1 n : (n + 1) X l/O .
Exercices résolus
Exercice 1
Parmi ces suites laquelle est géométrique ?
a) (u.) telle....
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