~ Les suites aritbméticogéométriques L'essentiel du cours Défin tion • On dit qu'une suite (u.) est une suite arithmético· géométrique...
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Les suites aritbméticogéométriques
L'essentiel du cours
Défin tion
• On dit qu'une suite (u.) est une suite arithmético·
géométrique s'il existe deux rée ls a et b tels que : u0 étant
donné, on a: pour tout entier n, u•• , = au.
+ b.
• On peut donc calcu ler chaque terme d'une suite
arithmético-géométrique en utilisant les coefficients a et b et le terme précédent.
Exemple
• En 2000 la population d'une ville était de 5 200 habitants.
Chaque année la
population augmente de 2 % mais 150 habitants quittent la ville.
On note u0 le
nombre d'habitants en 2000 et u.
le nombre d'habitants en 2000 + n.
Démont rons
que la suite (u.) est une suite arithmético·géométrique.
• On sait qu'une augmentation de 2 % correspond à un coefficient de 1 + 2 %
1,02.
On a u0 5 200 et , pour tout entier naturel n, u•• , 1,02u.
- 150.
• La suite (u.) est donc une suite arithmético-géométrique.
=
=
=
Cos port culiers
• Si b = o et a t- o alors la suite est une suite géométrique de raison a.
• Si a= 1 alors la suite est une suite arithmétique de raison b.
• L'étude d' une suite arithmético-géométrique se ramène à l'étude d'une suite
géométrique auxiliaire.
Exercices résolus
Exercice 1
Parmi les égalités suivantes laquelle ne décrit pas une suite arithmético·
géométrique ?
a) u••, = 0,3Un -15
l,) Un+l = 3Un + 5'1
C) Un>l : Un
Corrigé
un+1 = 3Un +
sn ne représente pas une suite arithmético·géométrique car elle n'est pas de
sn va avoir
la forme unn = aun + b avec a et b « fixes » (en effet pour chaque valeur den,
une valeur différente).
la réponse est b).
Exercice 2
On considère la suite (u) définie par u0 = 8 et, pour tout entier naturel
un+i = o,3un + 5.
À quelle valeur est égale u 2 ?
n,
a) On ne peut pas calculer u2
b) 7,4
c) 7,22
Corrigé
On a u1 = 0,3u0 + 5 = 0,3 x 8 + 5 = 7,4 et u2 = 0,3....
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