Les Sciences mathématiques : Objet et méthodes.
Publié le 12/11/2016
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Henri PoiNCARÉ (1854-1912) avait cependant proposé de voir, dans le raisonnement mathématique, une forme d’induction. C’est ce qu’il appelait le raisonnement par récurrence.
2. — Induction.
Avant d’exposer ce qu’il entendait par là, demandons-nous, en nous reportant aux diverses formes d'induction précédemment étudiées, si les mathématiques utilisent l’induction amplifiante. Peut-être, mais exceptionnellement ; et encore s’agit-il plutôt d’une extension douteuse, problématique. Fermât (1601-1665) supposait que tous les nombres de la forme (2, puissance 2, puissance n), plus 1 sont premiers. Erreur, comme le montra Euler (en 1732) pour quantité de valeurs de n. Par exemple (2, puissance 2, puissance 5)+ 1 est divisible par 641, etc... Peu importe, dit Luquet. Constatons que le grand Fermât n’a pas hésité à recourir à une sorte d’ « induction amplifiante »...
Autre exemple, également emprunté à Fermât : Tout nombre parfait est pair (rappelons qu’un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs, lui-même non compris. Ex. 6= 1 + 2+3). On ne connaît pas de démonstration théorique. On n'a déterminé, pour l’instant, que neuf nombres parfaits (le dernier est un nombre de 37 chiffres). Tous sont pairs. La proposition est jugée provisoirement vraie... Mais ce sont là de simples curiosités...
Si l’on parle d’induction en mathématiques, ne s'agirait-il pas, plutôt d'inductions complètes (totalisantes) ? Celle-ci doit-elle être exclue de l’arithmétique, sous prétexte que la série des nombres est illimitée ? Non. Précisément, dans le raisonnement par récurrence,
H. PoiNCARÉ s’appuie sur ce fait, que l’on peut prévoir si un nombre, non encore construit, possédera ou non telle propriété.
D’ailleurs, le monde mathématique contient, comme le monde physique (LUQUET) des individus, des espèces et des genres. Par ex. : le triangle rectangle est une espèce du genre triangle, qui est lui-même une espèce du genre polygone... Le nombre 3 est un individu de la classe des nombres entiers positifs, qui est elle-même une espèce du genre des nombres... En conséquence, l’induction qui conclut de l’espèce au genre peut être utilisée en mathématiques. Dans la démonstration du théorème relatif à la mesure de l’angle inscrit, on épuise l'extension de la classe des angles inscrits (celle des angles inscrits dont un côté est un diamètre, ... dont les deux côtés sont situés de part et d’autre d'un diamètre passant par leur sommet, ... dont les deux côtés sont situés du même côté d’un diamètre)...
Le raisonnement par récurrence.
L’arithmétique présente une sorte spéciale d’induction totalisante, qui repose essentiellement sur la définition des nombres entiers positifs. Cette induction se compose de deux éléments également nécessaires : 1° une constatation, ou, si l’on peut ainsi parler, une « expérience mathématique ». Cela consiste à vérifier qu’un nombre
La certitude des mathématiques et leur valeur
PAR LA CONNAISSANCE DE L’UNIVERS
I. — OBJET DES MATHÉMATIQUES.
Les mathématiques, dit excellemment G.H. Luquet (lect.) ont comme objet les êtres mathématiques : quantités ou grandeurs, à savoir les nombres et les figures.
Instruments intellectuels des sciences physiques, elles peuvent être considérées en elles-mêmes, indépendamment de toute application au réel concret.
On a discuté longuement pour savoir si les notions mathématiques se rattachent à l’intuition empirique ou si elles sont a priori. La conciliation des deux thèses ne serait pas impossible, si l’on voulait bien se rendre compte que l’individu n’a pas à découvrir ces notions, personnellement. On les lui enseigne. Si, comme nous le pensons, elles se sont formées empiriquement, c’est dans un très lointain passé. Dès les grands mathématiciens grecs, elles se sont progressivement détachées du monde sensible et sont devenues indépendantes du concret. Elles ont un caractère formel au premier chef. Étant formelles, elles peuvent, précisément, recevoir un « contenu » (dans les applications à la physique). Mais dépassant encore la physique par leur abstraction, elles se meuvent dans un monde idéal de possibles-logiques, dont le réel n’est qu’un cas particulier. (Descartes l’avait bien vu).
II. — MÉTHODES.
Comme d’autres sciences, les mathématiques établissent des lois. Les théorèmes « énoncent des lois relatives aux êtres mathématiques, c’est-à-dire des relations constantes entre les caractères de ces êtres » (ibid.). Pour établir les propriétés cherchées, les mathématiques utilisent la déduction et Yinduction.
i . — Déduction.
Que la méthode des mathématiques soit déductive, c’est ce qui ne paraît pas douteux. Chaque proposition est bien déduite, en effet, de propositions antérieurement démontrées ou admises. ,
(i) C’est l’un des sens du mot être. Il peut ainsi se définir : Objet existant dans la pensée, sans que cela implique une existence effective hors de la pensée.
«
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PHILOSOPHIE
DES SCIENCES
Henri POINCARÉ (r8s4-19 12) avait cependant proposé de voir,
dans le raisonnement mathématique, une forme d'induction.
C'est
ce qu'il appelait le raisonnement par récurrence.
2.
- Induction.
Avant d'exposer ce qu'il entendait par là, demandons-nous, en
nous reportant aux diverses formes d'induction précédemment
étudiées, si les mathém atiques utilisent l'induction amplifiante.
Peut
être, mais exceptionnellement ; et encore s'agit-il plutôt d'une exten
sion douteuse, problématiq ue.
FERMAT (r6oi-r66s) supposait que
tous les nombres de la forme (2, puissance 2, puissance n), plus r
sont premiers.
Erreur, comme le montra EuLER (en 1732) pour
quantité de valeurs de·n.
Par exemp le (2, puissance 2, puissance s)+ I
est divisible par 641, etc ...
Peu importe, dit LUQUET.
Constatons
que le grand FERMAT n'a pas hésité à recourir à une sorte
d' « induction amplifiante » •••
Autre exemple, également emprunté à FERMAT : Tout nombre parfait
est pair (rappelons qu'un nombre parfait est un nombre égal à la
somme de ses diviseurs, lui-même non compris.
Ex.
·: 6= 1+2 +3).
On ne connaît pas de démonstration théorique.
On n'a déterminé,
pour l'instant , que neuf nombres parfaits (le dernier est un nombre
de 37 chiff res).
Tous sont pairs.
La proposition est jugée provisoire
ment vraie ...
Mais ce sont là de simples curiosités ...
Si l'on parle d'induction en mathémat iques, ne s'agir ait-il pas,
plutôt d'inductions complètes (totalisantes) ? Celle-ci doit-elle être
exclue de l'arithrnét .ique, sous prétexte que la série des nombres est
illi mitée ? Non.
Précisément, dans le raisonnement par récurre nce,
H.
POINCARÉ s'appuie sur ce fait, que l'on peut prevoir si un nombre,
non encore construi t, possédera ou non telle propriété.
D'aill eurs, le monde mathématique contient, comme le monde
physique (LuQUET) des individus, des espèces et des genres.
Par ex.
:
le triangle rectangle est une espèce du genre triangl e, qui est lui
même une espèce du genre polygone ...
Le nombre 3 est un individu
de la classe des nombres entiers positifs, qul est elle -même une espèce
du genre des nombres ...
En conséquence, l'induction qui conclut
de l'espèce au genre peut être utilisée en mathématiques.
Dans la
démonstration du théorème relatif à la mesure de l'angle inscrit,
on épuise l'extension (•) de la classe des angles inscrits (celle des
angles inscrits dont un côté est un diamètre, ...
dont les deux côtés
sont situés de part et d'autre d'un diamètre passant par leur sommet, ...
dont les deux côtés sont situés du même côté d'un diamètre) ...
Le raison nement par récurrence .
L'arithmétique présente unè sorte spéciale d'induction totalisante,
qui repose essentielle ment sur la définition des nombres entiers
positifs.
Cette induction se compose de deux éléments également
nécessaires : 1° une constatation, ou, si l'on peut ainsi parler, une
« expérience mathématique ».
Cela consiste à vérifier qu'un nombre.
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