Degas et la danse

Le Foyer de la danse à l’Opéra de Degas analyse du tableau

Nature morte avec rideau et pichet fleuri de Cézanne analyse du tableau

La Carrière de Bibémus de Cézanne analyse du tableau

La Dame en bleu de Cézanne analyse du tableau

Portrait du jardinier Vallier de Cézanne analyse du tableau

Portrait de Joachim Gasquet de Cézanne analyse du tableau

Les Peupliers de Cézanne analyse du tableau

La Femme à la cafetière de Cézanne analyse du tableau

Garçon au gilet rouge de Cézanne analyse du tableau

Cézanne et la lumière

Le Château noir de Cézanne analyse du tableau

La Montagne Sainte-Victoire vue des Lauves de Cézanne (analyse du tableau)

La Montagne Sainte Victoire au grand pin de Cézanne analyse du tablea

Le Grand Pin de Cézanne analyse du tableau

Rochers à l'Estaque de Cézanne analyse du tableau

Gardanne de Cézanne analyse du tableau

La Mer à l'Estaque de Cézanne analyse du tableau

L'Estaque, vue du golfe de Marseille de Cézanne analyse du tableau

Le Jas de Bouffan de Cézanne analyse du tableau

Dans le parc du Château noir de Cézanne analyse du tableau

La Maison du pendu à Auvers sur Oise de Cézanne analyse du tableau

Le Pont de Maincy de Cézanne analyse du tableau

Nature morte à la soupière de Cézanne analyse du tableau

Les Bords de la Marne de Cézanne analyse du tableau

Le Château de Médan de Cézanne analyse du tableau

Portrait de Victor Chocquet de Cézanne analyse du tableau

Madame Cézanne accoudée de Cézanne analyse du tableau

Autoportrait de Cézanne analyse du tableau

Le Festin de Cézanne analyse du tableau

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Cours de mathématiques Classe de première S Olivier Péault 26 juin 2008 Table des matières 1 Généralités sur les fonctions 1/ Opérations sur les fonctions .

Publié le 25/11/2018

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Cours de mathématiques Classe de première S Olivier Péault 26 juin 2008 Table des matières 1 Généralités sur les fonctions 1/ Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3/ Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 3 Dérivation des fonctions 13 1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2/ Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3/ Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Limites 1/ Limites d’une fonction en l’in?ni . 2/ Limite d’une fonction en un point . 3/ Asymptotes obliques . . . . . . . . 4/ Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 21 22 23 5 Vecteurs de l’espace 1/ Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Vecteurs de l’espace . . . . . . . . . . . . . 3/ Caractérisation vectorielle du parallélisme . 4/ Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . 5/ Repère orthonormal, distance dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 28 30 31 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Barycentres 35 1/ Barycentre de deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2/ Barycentre de trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3/ Barycentre d’un nombre quelconque de points . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Produit scalaire 1/ Dé?nition . . . . . . . . . . . 2/ Autres expressions du produit 3/ Règles de calcul . . . . . . . . 4/ Vecteurs orthogonaux . . . . 8 Applications du 1/ Équations de 2/ Équations de 3/ Longueurs et . . . . . scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 42 44 45 produit scalaire 46 droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 angles dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 9 Angles orientés 50 1/ Dé?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2/ Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10 Trigonométrie 52 1/ Lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2/ Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3/ Repérage polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 11 Suites numériques 1/ Généralités . . . . . 2/ Sens de variation . . 3/ Limites . . . . . . . 4/ Suites arithmétiques 5/ Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 56 57 58 60 61 12 Probabilités 1/ Introduction . . . . . . . . . . . . . 2/ Vocabulaire des évènements . . . . 3/ Calcul des probabilités . . . . . . . 4/ Paramètres d’une loi de probabilité 5/ Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 64 65 66 67 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Transformations du plan et de 1/ Généralités . . . . . . . . . . 2/ Propriétés . . . . . . . . . . . 3/ Images des ?gures usuelles . . . . . . . . . . . . l’espace 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 14 Statistiques 1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . 2/ Paramètres de position . . . . . . . . 3/ Paramètres de dispersion . . . . . . 4/ In?uence d’une transformation a?ne 5/ Résumé d’une série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 76 78 80 80 Chapitre 1 Généralités sur les fonctions 1/ Opérations sur les fonctions a) Égalité de deux fonctions Définition Soient u et v deux fonctions. On dit que u et v sont égales et on note u = v si : – u et v ont le même ensemble de dé?nition D. – Pour tout x ∈ D, u(x) = v(x). Exemple : Les fonctions u et v sont-elles égales ? 2 3x + 1 1/ u et v sont définies par u(x) = 3 − et v(x) = x+1 x+1 x2 2/ u et v sont définies par u(x) = x et v(x) = x 1/ u et v ont le même ensemble de définition : R\{−1} Pour tout x ∈ R\{−1}, u(x) = 3 − 3(x + 1) − 2 3x + 1 2 = = = v(x) x+1 x+1 x+1 donc u = v. 2/ u est définie sur R et v est définie sur R∗ donc u 6= v. b) Opérations sur les fonctions Définition Soient u et v deux fonctions dé?nies sur D et λ un réel. – On dé?nit les fonctions u + v, uv, λu, u + λ de la façon suivante : (u + v)(x) = u(x) + v(x) (uv)(x) = u(x) × v(x) (λu)(x) = λ × u(x) (u + λ)(x) = u(x) + λ u – Si, pour tout x ∈ D, v(x) 6= 0 alors on peut dé?nir la fonction par : v u(x) u (x) = v v(x) Exemple : Soit u et v les fonctions définies sur R par u(x) = x2 et v(x) = x + 3. Déterminer u + v, uv, u 2u, u + 2 et . v – Pour tout réel x, (u + v)(x) = x2 + x + 3 ; (uv)(x) = x2 (x + 3) = x3 + 3x2 ; (2u)(x) = 2x2 et (u + 2)(x) = x2 + 2 u x2 – Pour tout réel x 6= −3, (x) = v x+3 5 Généralités sur les fonctions c) Composition de fonctions Définition Soit u une fonction dé?nie sur Du et v une fonction dé?nie sur Dv et telle que pour tout x ∈ Dv , v(x) ∈ Du . On appelle fonction composée de v par u la fonction notée u ? v et dé?nie sur Dv par : Pour tout x ∈ Dv , u ? v(x) = u(v(x)) / Du Dv x _ v / v(x) /R u / u(v(x)) O u?v Remarque : Il faut faire attention à l’ordre des fonctions. u ? v et v ? u sont en général des fonctions di?érentes. Il se peut qu’elles aient des ensembles de dé?nition di?érents voire que l’une existe mais pas l’autre. Exemple : Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = √ x − 1 et g la fonction définie sur R par g(x) = x2 + 3. Définir g ? f et f ? g. Sont-elles égales ? √ √ 2 – g ? f est définie sur [0; +∞[ par g ? f (x) = g(f (x)) √ = ( x − 1) + 3 = x − 2 x + 4 – f ? g est définie sur R par f ? g(x) = f (g(x)) = x2 + 3 − 1 – g ? f et f ? g ne sont pas égales car elles n’ont pas le même ensemble de définition. On peut ausi remarquer que g ? f (0) 6= f ? g(0) 2/ Sens de variation a) Sens de variation de la fonction u + λ Propriété Soit u une fonction dé?ne sur un intervalle I et λ un réel. Si u est monotone sur I alors u et u + λ ont même sens de variation sur I. Démonstration Cas où u est croissante Soient a et b deux réels de I. a 6 b =⇒ u(a) 6 u(b) car u est croissante sur I. =⇒ u(a) + λ 6 u(b) + λ La fonction u + λ est croissante sur I. b) Sens de variation de la fonction λu Propriété Soit u une fonction dé?ne et monotone sur un intervalle I et λ un réel. – Si λ > 0 alors les fonctions u et λu ont même sens de variation sur I. – Si λ < 0 alors les fonctions u et λu ont des sens de variation contraires sur I. Démonstration Cas où u est croissante Soient a et b deux réels de I. Si a 6 b alors u(a) 6 u(b) car u est croissante sur I. – Si λ > 0 alors λu(a) 6 λu(b) donc λu est croissante sur I. – Si λ < 0 alors λu(a) > λu(b) donc λu est décroissante sur I. 6 Chapitre 1 c) Sens de variation de la fonction u ? v Propriété Soit u une fonction dé?nie et monotone sur un intervalle J. Soit v une fonction dé?nie et monotone sur un intervalle I et telle que pour tout x ∈ I, v(x) ∈ J. – Si u et v ont même sens de variation alors u ? v est croissante sur I. – Si u et v ont des sens de variation contraires alors u ? v est décroissante sur I. Démonstration Cas où u est croissante Soient a et b deux réels de I. Si a 6 b alors v(a) ∈ J, v(b) ∈ J et v(a) 6 v(b) car v est croissante sur I. – Si u est croissante sur J alors u(v(a)) 6 u(v(b)) donc u ? v(a) 6 u ? v(b) donc u ? v est croissante sur I. – Si u est décroissante sur J alors u(v(a)) > u(v(b)) donc u ? v(a) > u ? v(b) donc u ? v est décroissante sur I. 3/ Représentations graphiques a) Représentation graphique d’une fonction x 7→ u(x + a) + b Propriété Soit u une fonction et v la fonction dé?nie par v(x) = u(x + a) + b. → → Dans un repère (O; − ? ,− ? ), on appelle Cu et Cv les courbes représentatives des fonctions u et v. − → − → Cv est l’image de Cu ! par la translation de vecteur −a i + b j , autrement dit le vecteur −a de coordonnées . b Cv v(x) Cu b u(x + a) x a x+a Démonstration Soient M (x; y) et M ′ (x − a; y + b). M ′ ∈ Cv ⇔ y + b = v(x − a) ⇔ y + b = u(x − a + a) + b ⇔ y = u(x) ⇔ M ∈ Cv 7 Généralités sur les fonctions b) Représentation graphique d’une fonction λu Propriété → → Soit u une fonction et v la fonction λu Dans un repère (O; − ? ,− ? ), on appelle Cu et Cv les courbes représentatives des fonctions u et v. Si M est le point de Cu d’abscisse x alors on obtient le point d’abscisse x de Cv en multipliant l’ordonnée de M par λ. u(x) 2u(x) u(x) u(x) 1 2 u(x) x x x − 34 u(x) Chapitre 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes a) Définition Définition On appelle fonction polynôme toute fonction f dé?nie sur R par : f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 où a0 , a1 , . . ., an sont des réels donnés. Exemple : x 7→ −x3 − 5x2 + 7x − 1 est un polynôme. x 7→ x4 − 4 n’est pas un polynôme. x2 + 2 b) Propriétés (admises) Propriété 1/ Soit P le polynôme dé?ni par P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . P est le polynôme nul ⇐⇒ a0 = a1 = · · · = an = 0. 2/ Soient P et Q les polynômes dé?nis par P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 et Q(x) = bp xp + bp−1 xp−1 + · · · + b1 x + b0 avec an 6= 0 et bp 6= 0. P = Q ⇐⇒ ( n=p a0 = b0 ; a1 = b1 ; · · · an = bn Conséquence : L’écriture d’un polynôme est unique. Exemple : Si, pour tout x ∈ R, ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 − x + 2 alors a = 2, b = 0, c = −1 et d = 1. c) Degré Définition Soit P un polynôme dé?ni par P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 avec an 6= 0. Le nombre n est appelé degré de P . Exemple : x 7→ −x3 − 5x2 + 7x − 1 est un polynôme de degré 3. x 7→ 3x − x5 est un polynôme de degré 5. 9 Polynômes du second degré d) Racines d’une fonction Définition Soit f une fonction. On appelle racine de f toute solution de l’équation f (x) = 0. Exemple : 1 est une racine de x 7→ −x3 − 5x2 + 7x − 1. 0 est une racine de x 7→ 3x − x5 . 2/ Polynômes du second degré Dans tout le paragraphe, P désigne un polynôme dé?ni par P (x) = ax2 + bx + c avec a 6= 0. a) Forme canonique Propriété et définition Il existe des réels α et β tels que : Pour tout x ∈ R, P (x) = a (x + α)2 + β . Cette écriture est appelée forme canonique de P . Remarque : On appelle parfois forme canonique l’écriture de P sous la forme P (x) = a(x + α)2 + γ Démonstration c b P (x) = ax + bx + c = a x + x + a a 2 =a b x+ 2a 2 2 −b2 + 4ac + 4a2 ! =a b x+ 2a 2 c b2 − 2+ 4a a Exemple : Écrire la forme canonique du polynôme défini par P (x) = 2x2 + 4x + 6. P (x) = 2x2 + 4x + 6 = 2 x2 + 2x + 3 = 2 (x + 1)2 − 1 + 3 = 2 (x + 1)2 + 2 b) Discriminant Définition On appelle discriminant de P le réel ? dé?ni par ? = b2 − 4ac. Exemple : Calculer le discriminant du polynôme défini par P (x) = 2x2 + 4x + 6. ? = 42 − 4 × 2 × 6 = 16 − 48 = −32. c) Racines Propriété Les racines de P peuvent être déterminée de la façon suivante : – Si ? < 0 alors P n’a pas de racine réelle. b – Si ? = 0 alors P admet une racine réelle : − . 2a √ √ −b − ? −b + ? – Si ? > 0 alors P admet deux racines réelles : et . 2a 2a ! 10 Chapitre 2 Démonstration P (x) = a b x+ 2a 2 −b2 + 4ac + 4a2 ! =a b x+ 2a 2 ? − 2 4a ! b 2 ? – Si ? < 0 alors x + − 2 > 0 donc pour tout x, P (x) 6= 0. 2a 4a b b 2 donc P (x) = 0 ⇐⇒ x = − . – Si ? = 0 alors P (x) = a x + 2a 2a √ ! √ ! b b ? ? – Si ? > 0 alors P (x) = a x+ − x+ + 2a 2a 2a 2a donc √ √ ? ? b b P (x) = 0 ⇐⇒ x + = 0 ou x+ =0 − + 2a 2a 2a 2a √ √ −b + ? −b + ? ou x = ⇐⇒ x = 2a 2a Exemple : Déterminer les racines de P et Q définis par P (x) = 2x2 + 4x + 6 et Q(x) = −x2 − 2x + 1 Pour P : ? = −32 < 0 donc P n’a pas de racine. Pour Q : ? = (−2)2 − 4 × (−1) × 1 = 4 + 4 = 8 > 0 donc Q admet deux racines : √ √ √ −(−2) − 8 2−2 2 x1 = = = −1 + 2 2 × (−1) −2 √ √ √ −(−2) + 8 2+2 2 = = −1 − 2 x2 = 2 × (−1) −2 d) Liens entre coefficients et racines Propriété Si P admet deux racines x1 et x2 alors ? ? ? r1 + r2 = − b c ? ? r1 r2 = a a Démonstration √ √ −2b b −b − ? −b + ? + = =− x1 + x2 = 2a√ 2a√ 2a a −b − ? −b + ? (−b)2 − ? b2 − b2 + 4ac 4ac c x1 x2 = × = = = 2 = 2 2 2a 2a 4a 4a 4a a e) Factorisation Propriété – Si ? < 0 alors P ne peut pas être factorisé. b 2 – Si ? = 0 alors P (x) = a x + 2a – Si ? > 0 alors P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) où x1 et x2 sont les racines de P . 11 Polynômes du second degré Démonstration Le premier résultat s’obtient en remarquant que si P pouvait se factoriser, on aurait deux facteurs du premier degré auquel cas l’équation P (x) = 0 admettrait au moins une solution, ce qui est contradictoire avec le résultat obtenu précédemment. Les deux autres résultats ont été obtenus dans le cours de la démonstration précédente. Exemple : Factoriser P et Q définis par P (x) = 2x2 + 4x + 6 et Q(x) = −x2 − 2x + 1 Pour P : ? = −32 < 0 donc P ne √ peut pas se √ factoriser. √ √ Pour Q : Les racines sont −1 + 2 et −1 + 2 donc P (x) = −(x + 1 − 2)(x + 1 + 2). f) Signe Propriété x −∞ +∞ Signe de P (x) Signe de a b +∞ x −∞ − 2a – Si ? = 0 alors Signe de P (x) Signe de a 0 Signe de a – Si ? > 0 alors x −∞ x1 x2 +∞ Signe de P (x) Signe de a 0 Signe de −a 0 Signe de a – Si ? < 0 alors où x1 et x2 sont les racines de P et x1 < x2 Démonstration ? b 2 − 2 > 0 donc P (x) est du signe de a. – Si ? < 0 alors x + 2a 4a b 2 b – Si ? = 0 alors P (x) = a x + qui est du signe de a sauf pour − . 2a 2a – Si ? > 0 alors P (x) = a(x − r1 )(x − r2 ) où r1 et r2 sont les racines de P . On peut donc dresser le tableau de signe suivant : x a x − x1 x − x2 Signe de P (x) −∞ x1 Signe de a − − Signe de a +∞ x2 Signe de a + − Signe de −a 0 0 0 0 Signe de a + + Signe de a Exemple : Déterminer le tableau de signe de P et Q définis par P (x) = 2x2 + 4x + 6 et Q(x) = −x2 − 2x + 1 Pour P : ? > 0 donc x −∞ +∞ Signe de P (x) + √ √ Pour Q : Les racines sont −1 − 2 et −1 + 2 et de plus −1 < 0 donc √ √ x −∞ −1 − 2 −1 + 2 Signe de P (x) − 0 + 0 − +∞ 12 Chapitre 2 g) Représentation graphique Propriété → → Soit (O; − ? ,− ? ) un repère du plan. b − 2a → La représentation graphique de P est l’image par la translation de vecteur − u ? − 4a 2 de la parabole représentant la fonctionx 7→ ax . b b ; P (− 2a ) . C’est donc une parabole de sommet S − 2a ! Illustration : Factorisation de P (x) Équation P (x) = 0 ?>0 a(x − x1 )(x − x2 ) 2 solutions x1 et x2 ?=0 a(x − x0 )2 une solution x0 ?<0 pas de factorisation pas de solution b − 2a a>0 x1 x2 b P (− 2a ) b ) P (− 2a a<0 x1 b − 2a x2 b P (− 2a ) b x0 = − 2a b x0 = − 2a b − 2a b − 2a b ) P (− 2a Chapitre 3 Dérivation des fonctions 1/ Généralités a) Limite en 0 Définition Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle I contenant 0 et L ∈ R. On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers 0 si on peut rendre f (x) aussi proche de L que l’on veut pour x su?samment proche de zéro. On note : lim hf (x) = L x→0 Exemple : lim xx2 = 0 x→0 lim xx + 1 = 1 x→0 √ lim x x + x − 2 = −2... x→0 x2 − 2x . 3x 2 x−2 x2 − 2x 2 x − 2x = donc lim x =− . Pour tout x 6= 0, x→0 3x 3 3x 3 Déterminer la limite en 0 de b) Nombre dérivé Définition Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle I. Soit a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I. f (a + h) − f (a) . On appelle taux de variation de f entre a et h le réel h On dit que f est dérivable en a si, lorsque h tend vers 0, le taux de variation de f entre f (a + h) − f (a) = L. a et h tend vers un réel L autrement dit si lim h→0 h ′ Ce réel L est appelé nombre dérivé de f en a et se note f (a). Exemple : Démontrer que la fonction f : x 7−→ x2 est dérivable en 2 et calculer f ′ (2). √ Démontrer que la fonction g : x 7−→ x n’est pas dérivable en 0. f (2 + h) − f (2) (2 + h)2 − 4 h2 + 4h Pour tout h 6= 0, = = =h+4 h h h f (2 + h) − f (2) = 4. Ainsi lim h x→0 h f est donc dérivable en 2 et f ′ (2) = √ 4. g(0 + h) − g(0) 1 h Pour tout h 6= 0, = = √ . h h h 1 Or, √ n’a pas de limite finie lorsque h tend vers 0 donc g n’est pas dérivable en 0. h 14 Chapitre 3 c) Interprétation graphique Propriété Soit f une fonction dé?nie sur I et Cf sa représentation graphique dans un repère. Soit a ∈ I. Si f est dérivable en a alors f ′ (a) est le coe?cient directeur de la tangente à Cf au point A(a; f (a)). L’équation de cette tangente est alors : y = f ′ (a)(x − a) + f (a). f (a + h) Illustration : Soit A(a; f (a)) ∈ Cf . Soit h 6= 0 et M (a + h; f (a + h)) ∈ Cf . f (a + h) − f (a) représente le coe?cient Le quotient h directeur de la droite (AM ). Lorsque h tend vers 0, M se rapproche de A et la droite (AM ) tend à se confondre avec la tangente à Cf en A. f (a) a a+h Démonstration Soit T la tangente à la courbe au point A. Son coe?cient directeur est f ′ (a) donc l’équation réduite de T est de la forme y = f ′ (a)x + b. A ∈ T donc f (a) = f ′ (a)a + b donc b = f (a) − af ′ (a). L’équation de T est donc y = f ′ (a)x + f (a) − af ′ (a) soit y = f ′ (a)(x − a) + f (a). d) Approximation affine Propriété Soit f une fonction dé?nie sur I et dérivable en a ∈ I. – Il existe une fonction ? telle que pour tout réel h avec a + h ∈ I : f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + h?(h) et lim h?(h) = 0 x→0 – La fonction h 7−→ f (a) + hf ′ (a) est une approximation a?ne de f pour h proche de 0. Démonstration f (a + h) − f (a) − f ′ (a). h f est dérivable en a donc lorsque h tend vers 0, ?(h) tend vers f ′ (a) − f ′ (a) = 0. De plus, h?(h) = f (a + h) − f (a) + hf ′ (a) soit f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + h?(h) Pour h 6= 0, on pose ?(h) = 2/ Calculs de dérivées a) Fonction dérivée Définition Soit f une fonction dé?ne sur un intervalle I. – Si, pour tout x de I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I. – La fonction dé?nie sur I par x 7−→ f ′ (x) est appelée fonction dérivée de f . Cette fonction est notée f ′ . 15 Dérivation des fonctions b) Dérivées usuelles Fonctions constantes Propriété Si f est la fonction dé?nie sur R par : alors f est dérivable sur R et pour tout réel x : f (x) = k f ′ (x) = 0. Démonstration Pour tout réel a et h 6= 0, k−k f (a + h) − f (a) = =0 h h f est donc dérivable en a et f ′ (a) = 0. Fonctions affines Propriété Si f est la fonction dé?nie sur R par : alors f est dérivable sur R et pour tout réel x : f (x) = mx + p f ′ (x) = m. Démonstration Pour tout réel a et h 6= 0, f (a + h) − f (a) m(a + h) + p − ma − p mh = = =m h h h ′ f est donc dérivable en a et f (a) = m Fonction carré Propriété Si f est la fonction dé?nie sur R par : alors f est dérivable sur R et pour tout réel x : f (x) = x2 f ′ (x) = 2x. Démonstration Pour tout réel a et h 6= 0, (a + h)2 − a2 2ah + h2 f (a + h) − f (a) = = = 2a + h h h h De plus, 2a + h tend vers 2a lorsque h tend vers 0. f est donc dérivable en a et f ′ (a) = 2a. Fonctions puissances Propriété Soit n un entier tel que n > 1. Si f est la fonction dé?nie sur R par : alors f est dérivable sur R et pour tout réel x : Résultat admis. f (x) = xn f ′ (x) = nxn−1 . 16 Chapitre 3 Fonction inverse Propriété 1 x 1 f ′ (x) = − 2 x Si f est la fonction dé?nie sur ] − ∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par : f (x) = alors f est dérivable sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[ et pour tout x 6= 0 : Démonstration Pour tout réel a 6= 0 et h 6= 0, 1 1 − a − (a + h) −1 f (a + h) − f (a) = a+h a = = h h ha(a + h) a(a + h) −1 1 Or tend vers − 2 lorsque h tend vers 0. a(a + h) a 1 f est donc dérivable en a et f ′ (a) = − 2 a Fonction racine carrée Propriété Si f est la fonction dé?nie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = alors f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout réel x > 0 : √ x 1 f ′ (x) = √ . 2 x Démonstration Pour tout réel a > 0 et h 6= 0 tel que a + h > 0, √ √ √ √ √ √ f (a + h) − f (a) ( a + h − a)( a + h + a) a+h− a √ = = √ h h h( a + h + a) a+h−a 1 = √ √ =√ √ h( a + h + a) a+h+ a 1 1 Or, lorsque h tend vers 0, √ √ tend vers √ 2 a a+h+ a 1 f est donc dérivable en a et f ′ (a) = √ 2 a Fonctions trigonométriques Propriété Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et pour tout réel x : sin′ (x) = cos(x) et cos′ (x) = − sin(x) Résultat admis. c) Opérations sur les fonctions et dérivées u et v désignent deux fonctions dérivables sur un intervalle I et λ un réel. Propriété La fonction u + v est dérivable sur I et La fonction λu est dérivable sur I et (u + v)′ = u′ + v ′ . (λu)′ = λu′ . 17 Dérivation des fonctions Démonstration Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I : (u + v)(a + h) − (u + v)(a) u(a + h) + v(a + h) − u(a) − v(a) = h h u(a + h) − u(a) v(a + h) − v(a) + = h h dont la limite est u′ (a) + v ′ (a) lorsque h tend vers 0. (λu)(a + h) − (λu)(a) λu(a + h) − λu(a) u(a + h) − u(a) = =λ h h h ′ dont la limite est λu (a) lorsque h tend vers 0. √ 1 −5 x+2 3x f est dérivable sur ]0 ; +∞[ car elle est la sommede fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ 1 1 1 ′ et, pour tout x ∈]0 ; +∞[, f (x) = 3 × 2x + × − 2 − 5 × √ ainsi : 3 x 2 x Exemple : Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = 3x2 + f ′ (x) = 6x − 1 5 − √ 3x2 2 x Propriété La fonction uv est dérivable sur I et La fonction u2 est dérivable sur I et (uv)′ = u′ v + uv ′ . (u2 )′ = 2uu′ . Démonstration Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I : u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a + h) + u(a)v(a + h) − u(a)v(a) (uv)(a + h) − (uv)(a) = h h v(a + h) − v(a) u(a + h) − u(a) = ×v(a + h) + ×u(a) h h {z } {z } u′ (a)v(a) tend vers u′ (a) + v ′ (a)u(a) tend vers v′ (a) dont la limite est lorsque h tend vers 0. Ainsi uv est dérivable et (uv)′ = u′ v + uv ′ . Exemple : Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par f (x) = (x2 + 1)(x5 + 2) f (x) = u(x)v(x) avec u(x) = x2 + 1 et v(x) = x5 + 2. f est donc dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et f ′ (x) = 2x(x5 + 2) + 5x4 (x2 + 1) Propriété Si v ne s’annule pas sur I 1 La fonction est dérivable sur I et v u La fonction est dérivable sur I et v ′ 1 v′ =− 2 v v ′ u u′ v − uv ′ = v v2 Démonstration Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I : 1 1 − v(a) − v(a + h) v(a + h) − v(a) 1 v(a + h) v(a) = =− × h hv(a + h)v(a) h v(a)v(a + h) 18 Chapitre 3 1 lorsque h tend vers 0. 2 (v(a)) ′ 1 1 v′ Ainsi est dérivable et =− 2 v v v De plus ′ u 1 ′ 1 v′ u′ v − uv ′ = u× = u′ × + u × − 2 = v v v v v2 dont la limite est −v ′ (a) × Exemple : Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur ]2 ; +∞[ par f (x) = g définie sur R par g(x) = 3x + 5 2x2 + 1 3 et de la fonction 2x − 4 1 avec λ = 3 et u(x) = 2x − 4. u(x) 2 −6 f est donc dérivable sur ]2 ; +∞[ et f (x) = 3 × − = . (2x − 4)2 (2x − 4)2 u(x) avec u(x) = 3x + 5 et v(x) = 2x2 + 1. Pour tout réel x , g(x) = v(x) g est donc dérivable sur R et Pour tout x ∈]2 ; +∞[, f (x) = λ × g(x) = 3(2x2 + 1) − 4x(3x + 5) −6x2 − 20x + 3 = (2x2 + 1)2 (2x2 + 1)2 Propriété Soit f une fonction dé?nie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction dé?nie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x de I, u(x) ∈ J. La fonction f ? u est dérivable et, pour tout réel x de I : (f ? u)′ (x) = u′ (x) × f ′ (u(x)) π Exemple : Calculer la dérivée de la fonction g définie sur R par g(x) = cos 2x + . 3 π Pour tout réel x, g(x) = f ? u(x) avec u(x) = 2x + et f (x) = cos(x). 3 π g est donc dérivable sur R et g ′ (x) = −2 sin 2x + 3 3/ Applications de la dérivation a) Dérivée et variations Propri&...

« Table des matières 1 Généralités sur les fonctions4 1/ Opérations sur les fonctions .

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4 2/ Sens de variation .

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5 3/ Représentations graphiques .

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6 2 Polynômes du second degré 8 1/ Généralités sur les polynômes .

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8 2/ Polynômes du second degré .

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9 3 Dérivation des fonctions 13 1/ Généralités .

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13 2/ Calculs de dérivées .

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14 3/ Applications de la dérivation .

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18 4 Limites 20 1/ Limites d’une fonction en l’inﬁni .

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20 2/ Limite d’une fonction en un point .

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21 3/ Asymptotes obliques .

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22 4/ Opérations sur les limites .

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23 5 Vecteurs de l’espace 25 1/ Rappels .

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25 2/ Vecteurs de l’espace .

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28 3/ Caractérisation vectorielle du parallélisme .

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30 4/ Repérage dans l’espace .

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31 5/ Repère orthonormal, distance dans l’espace .

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33 6 Barycentres 35 1/ Barycentre de deux points .

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35 2/ Barycentre de trois points .

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38 3/ Barycentre d’un nombre quelconque de points .

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41 7 Produit scalaire 42 1/ Déﬁnition .

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42 2/ Autres expressions du produit scalaire .

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42 3/ Règles de calcul .

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4 4 4/ Vecteurs orthogonaux .

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45 8 Applications du produit scalaire 46 1/ Équations de droites .

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46 2/ Équations de cercles .

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47 3/ Longueurs et angles dans un triangle .

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Classe de première S
Olivier Péault
26 juin 2008

Table des matières
1 Généralités sur les fonctions
1/ Opérations sur les fonctions .

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