correction dossier n°1 statistiques

Dossier 2 : Indices synthétiques et analyse de variations TD de Statistique-Informatique - Licence 1 de Sciences Economiques Thibault DARCILLON * Exercice 1 : Coefficient budgétaire et indices de Paasche et de Laspeyres a) On calcule les coefficients budgétaires pour les périodes 0, 1 et 2. Le coefficient budgétaire désigne la part du budget d'un ménage ou d'un individu dédiée à l'achat d'un produit ou service ou d'une famille de produits ou services. Soit ?i le coefficient budgétaire du bien i à la période t et soit n biens. On appelle q les quantités et p les prix. On obtient alors la formule suivante : qit .pit ?it = n qit .pit i=1 On obtient donc pour le bien A à la période 0 : ? A0 = qA0 .pA0 n = qi0 .pi0 qA0 .pA0 (qA0 .pA0 ) + (qB 0 .pB 0 ) + (qC 0 .pC 0 ) i=1 = 16 × 100 1600 = = 0, 452 (16 × 100) + (19 × 60) + (5 × 160) 3540 Conclusion : Le coefficient budgétaire du bien A pour la période 0 est égal à 0,452. Ainsi, les agents (par exemple les ménages) consacrent 45,2 % de leur budget à la dépense du bien A à la période 0. On fait de même pour les autres biens et autres périodes. On obtient le tableau suivant : ?At ?Bt ?Ct * E-mail 0 0,452 0,322 0,226 1 0,424 0,339 0,237 : [email protected] 1 2 0,339 0,339 0,316 b) On calcule l'indice de Laspeyres des prix L(p)1/0 : o Méthode directe : L'indice des prix de Laspeyres est un indice rétrospectif. Il est égal au rapport des valeurs du panier de biens de la date initiale, valorisé respectivement aux prix de la date terminale et de la date initiale (puis multiplié par 100). On trouve au numérateur ce qu'auraient coûté en n les quantités consommées en 0 et au dénominateur ce qu'ont coûté en 0 les quantités consommées en 0. Ainsi, L ( p) = Ancien panier aux nouveaux prix × 100 Ancien panier aux anciens prix On obtient la formule suivante : k pin .qi0 Ln/0 (p) = i=1 k × 100 = pi0 .qi0 p1n .q10 + p2n .q20 + ... + pkn .qk0 × 100 p10 .q10 + p20 .q20 + ... + pk0 .qk0 i=1 Laspeyres fixe le dénominateur selon la période initiale (pi0 et qi0 ) et ne change que le numérateur. Si on veut calculer l'indice des prix pour l'année 1, base 100 pour l'année 0 : L 1/ 0 ( p ) = pA1 .qA0 + pB 1 .qB 0 + pC 1 .qC 0 (150 × 16) + (50 × 19) + (140 × 5) × 100 = × 100 pA0 .qA0 + pB 0 .qB 0 + pC 0 .qC 0 (100 × 16) + (60 × 19) + (160 × 5) 4050 × 100 = 114, 4 = 3540 L'indice des prix de Laspeyres pour l'année 1, base 100 pour l'année 0 est égal à 114,4. o Deuxième méthode : l'indice comme somme pondérée d'indices élémentaires : On calcule au préalable l'indice élémentaire IP A1/0 tel que : IP A1/0 = pA 1 pA 0 × 100 = 150 100 × 100 = 150 On fait de même pour les indices IP B 1/0 et IP C 1/0 : IP B 1/0 = 50 60 × 100 = 83, 33 et IP C 1/0 = 140 160 × 100 = 87, 5 L'indice L(p)1/0 est aussi égal à la somme des indices élémentaires pondérés par les coefficients budgétaires de l'année de base : L1/0 (p) = ?A0 × IP A1/0 + ?B 0 × IP B 1/0 + ?C 0 × IP C 1/0 = 0, 452 × 150 + 0, 322 × 83, 33 + 0, 226 × 87, 5 = 114, 4 2 c) Transférabilité de l'indice de Laspeyres : Soit une grandeur observée en 3 dates (0,1,2), la transférabilité de l'indice se traduit par : I 2/ 0 = I 2/ 1 × I 1/ 0 100 Vérifions le cas pour l'indice de Laspeyres. L 2/ 1 ( p ) × L 1/ 0 ( p ) 100, 56 × 114, 4 = = 115, 05 = 126, 27 = L2/0 (p) 100 100 On en conclut que l'indice de Laspeyres n'est pas transférable. d) On calcule la valeur de l'indice chaine de Laspeyres LC2/0 (p) : L'indice chaine de Laspeyres LC2/0 (p) est égal au produit de tous les maillons constitués par les indices de Laspeyres relatifs à toutes les années consécutives de la période, réduite ici à 2 ans, de 0 à 1 et de 1 à 2. Cela correspond au résultat que l'on a calculé pour répondre à la question précédente. Ainsi, LC2/0 (p) = L 2/ 1 ( p ) × L 1/ 0 ( p ) 100, 56 × 114, 4 = = 115, 05 100 100 e) On calcule l'indice de Paasche des prix P (p)1/0 : o Méthode directe : L'indice des prix de Paasche est un indice prospectif. Il est égal au rapport des valeurs du panier de biens de la date terminale, valorisé respectivement aux prix de la date terminale et de la date initiale (puis multiplié par 100). On trouve au numérateur ce qu'auraient coûté en n les quantités consommées en n et au dénominateur ce qu'auraient coûté en 0 les quantités consommées en n. On obtient la formule suivante : Ainsi, P ( p) = Nouveau panier aux nouveaux prix × 100 Nouveau panier aux anciens prix k pin .qin Pn/0 (p) = i=1 k × 100 = pi0 .qin p1n .q1n + p2n .q2n + ... + pkn .qkn × 100 p10 .q1n + p20 .q2n + ... + pk0 .qkn i=1 Paasche fixe le numérateur selon la période terminale (pin et qin ) et ne change que le dénominateur. Si on veut calculer l'indice des prix pour l'année 1, base 100 pour l'année 0 : P 1/ 0 ( p ) = (150 × 10) + (50 × 24) + (140 × 6) pA1 .qA1 + pB 1 .qB 1 + pC 1 .qC 1 × 100 = × 100 pA0 .qA1 + pB 0 .qB 1 + pC 0 .qC 1 (100 × 10) + (60 × 24) + (160 × 6) 3540 × 100 = 104, 12 = 3400 3 L'indice des prix de Paasche pour l'année 1, base 100 pour l'année 0 est égal à 104,12. o Deuxième méthode : l'indice comme somme pondérée d'indices élémentaires : L'indice P1/0 (p) est aussi égal à la somme harmonique des indices élémentaires pondérés par les coefficients budgétaires de l'année de base : 1 1 P 1/ 0 ( p ) = ? A 0 ?B 0 ?C 0 = 0, 424 0, 339 0, 237 = 104, 12 + + + + IP A1/0 IP B 1/0 IP C 1/0 150 83, 33 87, 5 f ) On calcule l'indice de Paasche des quantités P1/0 (q ) : On échange le rôle des prix et des quantités. On trouve au numérateur ce qu'auraient coûté en n les quantités consommées en n et au dénominateur ce qu'auraient coûté en n les quantités consommées en 0. Ainsi, P (q ) = Nouveau panier aux nouveaux prix