achevée (droite numérique) - Définition.

achevée (droite numérique) - Définition. MATHÉMATIQUES : la droite numérique achevée est l'ensemble des nombres réels auxquels on a adjoint deux éléments notés +¥ et -¥ (lire « plus l'infini « et « moins l'infini «) ; elle est notée G (lire « R barre «) : G = u + {- ¥ } + {+¥ }. Ce prolongement de u c onserve sa structure ordonnée, en posant : pour tout x dans u, - ¥ < x < + ¥ . Mais il ne conserve pas sa structure de corps, car il n'est pas possible de donner un sens à des écritures comme (- ¥ ) + (+ ¥ ) ou 0 × (+ ¥ ) ou (+¥ )/(+¥ ). L'introduction de ces éléments « infinis « a un but essentiellement pratique : elle permet d'énoncer des théorèmes généraux, évitant les cas particuliers et traitant simultanément les limites « finies « en « infinies «. Ainsi, on dit que la suite (un) n m # a pour limite +¥ lorsque nM m u à n m # np>n xp > M. Dans G, on a alors les théorèmes : toute suite monotone converge ; toute suite de G a (au moins) un point d'accumulation dans G ; t oute partie non vide de G a u ne borne supérieure dans G ; G est un ensemble compact. Il ne faut pas confondre ce prolongement de u avec un autre, beaucoup plus significatif, appelé droite projective, ni avec les éléments « infiniment grands « introduits par l'analyse non standard.