Nombres complexes

« Nombres complexes Nombres complexes 1- Objectifs : Ce thème vise à : Définir l’ensemble des nombres complexes et en dégager les règles de calcul ; - Utiliser les caractérisations complexes pour interpréter des configurations élémentaires du plan ; - Utiliser les nombres complexes pour Résous des problèmes. Commentaires La notion de nombres complexes est nouvelle pour les élèves.

La construction de l’ensemble ℂ n’est pas au programme ; on pourra en faire une présentation historique.

Ce nouvel ensemble qui prolonge ℝ offre un domaine riche d’activités numériques. On fera ressortir l’intérêt des relations entre propriétés des complexes et celles des configurations géométriques ainsi que celui de l’utilisation de l’outil " nombres complexes" dans la résolution de problèmes géométriques. Il ne s’agit pas de faire une théorie sur les transformations et leurs écritures complexes, mais d’utiliser ces écritures pour la résolution de problèmes. 2- Savoir et savoir-faire SAVOIRS • Forme algébrique d’un nombre complexe. • Partie réelle (Re), partie imaginaire (Im). • Conjugué d’un nombre complexe, propriétés. •Somme, produit, quotient de deux nombres complexes. • Formule du binôme • Egalité de deux nombres complexes. • Module et argument d’un nombre complexe. • Module et argument du produit, de l’inverse, du quotient et de la puissance entière d’un nombre complexe • Forme trigonométrique. •Affiche d’un point, d’un vecteur • Point image et vecteur image d’un nombre complexe. • Forme exponentielle (z = 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑖𝑖 ). SAVOIR-FAIRE • Détermine la partie réelle, la partie imaginaire d’un nombre complexe. • Calcule la somme, le produit et le quotient de deux nombres complexes donnés sous forme algébrique. • Développer (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛 • Détermine le conjugué d’un nombre complexe •Détermine le module et un argument d’un nombre complexe non nul donnés sous forme algébrique. • Représenter graphiquement un nombre complexe donné sous forme algébrique. • Calcule le produit et le quotient de deux nombres complexes écrits sous formes trigonométrique. • Passer à la forme trigonométrique à la forme algébrique et inversement. Idrissa DEMBELE.

PESG.

ECICA.

Chapitre 1.

Nombres complexes. Page 1 Nombres complexes Remarques et suggestions Un imaginaire pur est un nombre complexe dont la partie réelle est nulle.

(0 est à la fois réel et imaginaire pur). On s’interdira d’utiliser le symbole √ avec un nombre complexe non réel positif. L’acquisition des propriétés des nombres complexes pourra être vérifiée par des exercices de ″ méthodes″ dépourvus de lourdeur de calculs. L’écriture exponentielle sera le plus tôt possible afin d’alléger les expressions dans les calculs. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMETRIE SAVOIR • Formule de Moivre, formule d’Euler SAVOIR-FAIRE Utiliser les formules de Moivre et d’Euler pour • reTrouve des formules trigonométriques ; • linéariser des puissances de cos𝑥𝑥 et sin𝑥𝑥 à l’aide des nombres complexes Remarques et suggestions La linéarisation des fonctions trigonométriques sera réinvestie dans le calcul intégral. Pour la linéarisation des puissances de cosinus et sinus, on se limitera à des exposants peu élevés.

Les formules trigonométriques obtenues ne sont pas à apprendre par cœur. EQUATIONS DANS ℂ SAVOIR • Racines carrées d’un nombre complexe non nul. • Equation du second degré dans ℂ • Racine nième d’un nombre complexe non nul. •Racine nième de l’unité ; interprétation graphique SAVOIR-FAIRE • Détermine les racines carrées d’un nombre complexe écrit sous forme algébrique. • Résous une équation du second degré dans ℂ ou une équation s’y ramenant. • Détermine sous forme trigonométrique les racines nième d’un nombre complexe et les représenter graphiquement Remarques et suggestions La propriété suivante : " Pour deux complexes 𝑧𝑧 et 𝑧𝑧ʹ, [𝑧𝑧 = 𝑧𝑧ʹ]  |𝑧𝑧| = |zʹ|, Re(z) = 𝑅𝑅𝑅𝑅(zʹ) et Im(z) = 𝐼𝐼𝐼𝐼(zʹ)≥ 0 est un outil intéressant pour le calcul des racines carrés d’un nombre complexes. Idrissa DEMBELE.

PESG.

ECICA.

Chapitre 1.

Nombres complexes. Page 2 Nombres complexes On pourra intéresser les élèves à Trouve les n racines nième d’un nombre complexe connaissant une racine et les n racines nième de l’unité. NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE SAVOIR ZA −ZB � �����⃗ �����⃗ �• •𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � � est une mesure de �DC , BA ZC −ZD Caractérisations complètes : - D’un cercle ; SAVOIR-FAIRE • Détermine que des points sont cocycliques. • Démontre que des points sont alignés. Utiliser les caractérisations complexes pour : - D’une droite. Justifier une priorité géométrique ; Détermine des lieux géométriques Remarques et suggestions A titre d’exercice, on pourra faire Démontre aux élèves que : 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷 étant quatre points distincts d’affixes respectives 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 𝑑𝑑, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 et 𝐷𝐷 sont cocycliques ou alignés si et seulement si 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘 entier relatif. Idrissa DEMBELE.

PESG.

ECICA.

Chapitre 1.

Nombres complexes. 𝑐𝑐−𝑏𝑏 𝑑𝑑−𝑏𝑏 � = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � � + 𝑘𝑘𝑘𝑘 avec 𝑐𝑐−𝑎𝑎 𝑑𝑑−𝑎𝑎 Page 3 Nombres complexes I- Rappels sur l’ensemble ℝ et ces sous -ensembles 1) Ensemble des entiers naturels L’ensemble des entiers naturels est noté : ℕ tel que : ℕ = {0; 1; 2, ; 3; … } L’ensemble des entiers naturels privé de zéro est noté ℕ* tel que : ℕ* = {1; 2; 3;…} 2) L’ensemble des entiers relatifs L’ensemble des entiers relatifs est noté : ℤ tel que : ℤ= { … .

−2 ; 0 ; 1 ; 2 ; … }. L’ensemble des entiers relatifs positifs est noté : ℤ+ tel que : ℤ+ = �0 ; +1 ; … � L’ensemble des entiers relatifs négatifs est noté : ℤ− tel que : ℤ− = �… − 2 ; −1 … 0 � L’ensemble des entiers relatifs privés de zéro est noté : ℤ∗ tel que : ℤ∗ = � … − 2 ; −1 ; 1 ; 2 ; … � L’ensemble des entiers relatifs positifs et privés de zéro est noté : ℤ ∗+ tel que : ℤ ∗+ = � 1 ; 2 ; … � L’ensemble des entiers relatifs négatifs et privés de zéro est noté : ℤ ∗− tel que : ℤ ∗− = � … − 2 ; −1 � 3) L’ensemble des nombres rationnels L’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs. 𝑃𝑃 𝑄𝑄 L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ tel que : ℚ = � 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑃𝑃 ∈ ℤ ; 𝑞𝑞 ∈ ℤ∗ � 4) L’ensemble des nombres réels Certains nombre comme : √2 ; √3 2 et π ne peuvent pas s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs.

Ce sont des nombres irrationnels et l’ensemble des nombres irrationnels et rationnels forment l’ensemble des nombres réels. L’ensemble des nombres réels est noté : ℝ tel que : ℝ = ]−∞ ; +∞[ RETENONS : ℕ⊂ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Idrissa DEMBELE.

PESG.

ECICA.

Chapitre 1.

Nombres complexes. Page 4 Nombres complexes Activités : Activité 1: Consigne : Résous dans ℕ puis dans ℤ l’équation : x + 7 = 6.

Conclus. Activité 2: Consigne : Résous dans ℤ puis dans ℚ l’équation : 3x = 1.

Conclus. Activité 3: Consigne : Résous dans ℚ puis dans ℝ l’équation : x2 – 2 = 0.

Conclus. Activité 4: Consigne : Résous dans ℝ l’équation : x2 + 1 = 0.

Conclus. Remarque : quant une équation n’a pas de solutions dans un ensemble, une démarche naturelle (et historique) consiste à en chercher dans un ensemble plus grand que le précédent. Au stade de nos connaissances actuelles, l’ensemble numérique le plus grand que l’on a rencontré est ℝ. Ainsi un nouvel ensemble pris naissance au XVIème siècle par JEROME CARDAN (Mathématicien Italien) afin de Trouve des solutions pour l’équation : 𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎 = 0 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∈ ℝ∗+ )ou des équations du second degré à discriminant négatif.

Cet ensemble s'appellera : Ensemble des nombres complexes ou ensemble des corps complexes et sera noté ℂ. Le principal élément de ℂ sera noté 𝒊𝒊 (𝒊𝒊 comme imaginaire). Le nombre 𝒊𝒊 est tel que 𝒊𝒊2 = – 1.

L’équation 𝑥𝑥 2 + 1 = 0 possède alors deux solutions telles que 𝑥𝑥 2 – 𝒊𝒊 2 = 0 soit (𝑥𝑥 – 𝒊𝒊)(𝑥𝑥 + 𝒊𝒊) = 0 donc x = 𝒊𝒊 ou x = – 𝒊𝒊. II- Définition ; vocabulaire et interprétation graphique 1) Définition : On appelle nombre complexe, tout couple ordonné de deux nombres réels 𝒂𝒂 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝒃𝒃 tel que : 𝒁𝒁 = 𝒂𝒂 + 𝒊𝒊𝒊𝒊 où 𝒊𝒊 est un imaginaire tel que 𝒊𝒊2 = − 𝟏𝟏. 2) Notation et vocabulaire : Soit Z un nombre complexe tel que 𝒁𝒁 = 𝒂𝒂 + 𝒊𝒊𝒊𝒊 . • • • l'écriture 𝒁𝒁 = 𝒂𝒂 + 𝒊𝒊𝒊𝒊 est appelée forme algébrique de 𝒁𝒁. le nombre réel 𝒂𝒂 est appelé partie réelle de 𝒁𝒁 et est noté Re(𝐙𝐙) le nombre réel 𝒃𝒃 est appelé partie imaginaire de 𝒁𝒁 et est noté Im(𝐙𝐙) Idrissa DEMBELE.

PESG.

ECICA.

Chapitre 1.

Nombres complexes. Page 5 Nombres complexes NB : - Si 𝑏𝑏 = 0 ; alors 𝒁𝒁 = 𝑎𝑎 (Z est un nombre à la fois réel et complexe) car ℝ ⊂ ℂ - Si 𝑎𝑎= 0 ; alors 𝒁𝒁 = 𝑖𝑖𝑖𝑖 (Z est un imaginaire pur). - Si 𝑎𝑎= 0 et.... »