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« Calcul dans R EXERCICE1 : 1) Effectuez les calcules suivants: (1) : (a + b) (x – y) – (a – b) (x + y) – b (x – y) (2) : x (a – by) – y (b – ax) – xy (x – y) 1 (3) : 4[10 (5(2a + 3) +5) ─ a + 7] (4) : 3 [5 (x – a) – 2 (b – y)] – 6 (a – b) + 15 (x + y) (5) : x ― y ― [z ― y ― (t ― x)] ― [y + t ― (x + z)] ― [x ― (y ― z + t)] 2) Développer à l’aide des égalités remarquables : 2𝑎 𝑎2 𝑏 (6) : (a²b + c)² ; (7) : ( 3 + 4)2 ; (8) : ( 2 − 𝑏)3 1 9 3 1 1 2 1 3) Calculer (9) : (− 4)[5 {10 − 20 (1 − 2 + 3)} − (3 + 5 − 7)] 4) Factoriser les expressions suivantes : (10) : a² xy + aby² + b²xy + abx² ; (11) : 3a² + 3b² - 12 c² - 6ab (12) : y² - x² + 2x -1 (13) a²b² - 1 + a² - b² ; (14) : (ab – 1)² - (a – b)² (15) : (2a² - 3a -5)² - (2a² + 3a + 4)² ; (16) : 8 + 36a b² + 54a²b + 27ab (17) : a + 8 - 2a² + 4a a b ; (18) : (a + b)² - (c + d)² + (a + c)² - (b + d)² (19) : ab(a + b) + bc (b + c)+ ca (c + a) + 2abc EXERCICE2 : Démontrer que (a, b, c, x, y réels ) (1) : (ax + by)² + (ay – bx)² = (a² + b²) (x² + y²) (2) : (ax + by)² - (ay + bx)² = (a² - b²) (x² - y²) (3) : (a + b + c)3 – 3 (a + b) (b + c) (c + a) = 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 (4) : (a- b) 3 + (b - c)3 + (c - a)3 = a3 + b3 + c3 (5) : (a² + b²) (a’² + b’²) = (aa’ + bb’)² + (ab’- ba’)² (6) : (a + b + c)² + (b - c)² + (c - a)² + (a – b)² = 3 (a² + b² + c²) EXERCICE3 : 1) Ecrire sous la forme 2𝑚 × 3𝑛 × 5𝑝 (avec m, n et p des entiers relatifs) les réels suivants : 𝐴= (0,009)−3 ×(0,016)2 ×250 (0,00075)−1 ×8103 ×30 ; 𝐵= (−6)4 ×30−2 ×(−10)−3 ×154 (−25)2 ×(36)−5 ×(−12)3 𝑚 𝑛 𝑝 2) Ecrire sous la forme 𝑎 𝑏 𝑐 ( 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑚, 𝑛 𝑒𝑡 𝑝 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓𝑠) 𝑄= (𝑎2 𝑏)−3 ×(𝑏𝑐 3 )×(𝑎−2 𝑏 5 )3 (𝑏 2 𝑐 2 𝑎)−4 ×(𝑎−1 𝑏 6 )2 2 2 3 4 (𝑎−2 𝑐)−4 ×(−𝑏 2 𝑐)5 ×(𝑎3 𝑏𝑐 −1 )−2 (−𝑎2 𝑏 −3 𝑐)3 ×(−𝑏 4 )×(𝑎−5 𝑐)2 1 1 = −(5)−1 × 32 𝑒𝑡 𝐵 = (− 3)−4 ; 𝑅= 3) Calculer AB, 𝐴 𝐵 , 𝐴 𝐵 𝑜ù 𝐴 EXERCICE4 : Simplifier les expressions suivantes : (−𝑎)7 ×(𝑏 3 𝑐 2 )4 91−1 ×(−39)3 ×25 (28×12−2 )3 ×105−3 ×5 5 ; 𝐵 = 262 ×45×(−21)−2 ×72 ; 𝐶 = 7−2 ×(−60)−4 ×634 ÷ (3)5 ; −2 3 5 [( 3 )2 ]6 × [( )−2 ]3 × [(2)2 ]−3 (𝑎2 𝑏 3 𝑐)2 × 𝑎3 𝑐 5 𝐷= ; 𝐸= −4 (𝑎𝑏)4 (𝑐 2 𝑎)2 𝑏𝑐 ( 9 )6 EXERCICE5 : m et n étant deux entiers positifs ou nuls, donner les différentes valeurs possibles de l’expression : 𝐴= −𝑏 3 𝑐(−𝑎)4 f(m, n)= 5(−1)𝑚 ×7(−1)𝑛+1 +8(−1)𝑚+𝑛 2(−1)𝑚+𝑛 EXERCICE6 : Factoriser les expressions suivantes : 1) (4𝑎2 + 𝑏 2 − 9)2 − 16𝑎2 𝑏 2 2) (𝑎2 + 𝑏 2 − 5)2 − 4(𝑎𝑏 + 2)2 3) (𝑎2 + 𝑏 2 − 9)2 − 4𝑎2 𝑏 2 4) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)2 − (𝑎𝑦 + 𝑏𝑥)2 2 2 5) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) + (𝑎𝑦 − 𝑏𝑥) 6) (9𝑥 2 − 12𝑥 + 4) + (𝑥 − 3)2 − (2𝑥 + 1)2 7) 𝑎4 − 𝑏 4 + 2𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏 2 ) − (𝑎3 − 𝑏 3 ) + 𝑎𝑏 2 − 𝑎2 𝑏 8) (𝑥 + 𝑦)3 − 𝑥 3 − 𝑦 3 9) 𝑎5 + 𝑏 5 − 𝑎𝑏 4 − 𝑎4 𝑏 10) 25𝑎4 − (9𝑏 2 − 4𝑎2 )2 11) (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )2 − (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )2 EXERCICE7 : Factoriser les expressions suivantes : 𝐴 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 2 + 𝑦𝑧 2 − 𝑥𝑧 2 + 𝑥 2 𝑧 − 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦 2 𝑧 − 𝑥𝑦𝑧 ( 𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑜𝑖𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠) 𝐵 = (𝑥𝑦 2 𝑧 3 )4 × (𝑥 3 𝑦 5 𝑧 4 ) × (𝑥 3 𝑦 5 𝑧)2 × (𝑥 4 𝑦𝑧 2 )3 (𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝐵 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑′ 𝑢𝑛𝑠𝑒𝑢𝑙 𝑟é𝑒𝑙) C = 25[4𝑥 3 (𝑦 2 𝑧)2 ]2 − 2[10𝑥 4 (𝑦𝑧)3 ]2 − [10(𝑥𝑦𝑧)2 ]3 EXERCICE8 : 1) Développer (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 . 2) Monter que si a + b + c = 0 alors 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = -2 (ab + bc + ca). 3) On suppose a , b et c sont non nuls. 1 1 1 Montrer que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 ⟹ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 . EXERCICE9 : Soit a, b, c trois réels : 1) Développer (a + b +c) (ab + bc + ca) puis (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 2) Démontrer que si : a + b +c = 0 alors 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 = 3abc 3) En déduire que, pour tous réel x, y, z on a : (𝑥 − 𝑦)3 − (𝑦 − 𝑧)3 + (𝑧 − 𝑥)3 = 3 (x – y) (y – z) (z – x) EXERCICE10 : Soit a, b, c trois réels non nul tels que ab + bc + ca = 0 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Calculer la somme S= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 EXERCICE11 : Soient 4 entiers naturels consécutifs n, n + 1, n + 2, n + 3, (n > 0) 1°) a) Démontrer que (n + 1) (n + 2) = n (n + 3) + 2 b) On pose (n + 1) (n + 2) = a.

Exprimer en fonction de a le produit p = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) c) En déduire que p + 1 est le carré d’un entier (on dit carré parfait) 2°) Déterminer n sachant que p = 5040. EXERCICE12 : 1 1 a) Calculer, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : 𝐴 = (1 + 𝑛−1) (1 − 𝑛) 1 1 1 b) Calculer 𝐵 = (1 − 22 ) (1 − 32 ) (1 − 42 ) 1 1 1 1 c) Calculer en fonction de n : 𝑋𝑛 = (1 − 22 ) (1 − 32 ) (1 − 42 ) … … (1 − 𝑛2 ) EXERCICE13 : Simplifier les expressions suivantes (on suppose que tous les dénominateurs sont non nuls). 1 1 1 2 1 (𝑥 2 +𝑦 2 )𝑎+(𝑥 2 −𝑦 2 )𝑏 2 ] 2𝑥𝑦 1 A = (a+b)2 (𝑎2 + 𝑏2 ) + (𝑎+𝑏)3 (𝑎 + 𝑏) ; 𝐵 = [ 𝐶= 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 − 1−𝑥𝑦 1+𝑥𝑦 𝑥2 −𝑦2 1− 1−𝑥2 𝑦2 1 1 𝑏+𝑐 1 + 𝑎 𝑏+𝑐 − 𝐷 = 𝑎1 ; 1 1 𝑎+𝑐 1 − 𝑏 𝑎+𝑐 × 𝑏1 + 1 1 𝑏+𝑐 1 − 𝑎 𝑏+𝑐 + ; 𝐸 = 𝑎1 (𝑥 2 −𝑦 2 )𝑎+(𝑥 2 +𝑦2 )𝑏 2 ] 2𝑥𝑦 −[ 𝑥 2 −𝑦𝑧+𝑥𝑦−𝑥𝑧 𝑎+𝑏+𝑐 ÷ 𝑎−𝑏−𝑐 ; 𝐹 = 𝑥 2 +𝑦𝑧−𝑥𝑦−𝑥𝑧 ; 𝑥+𝑡 𝑥−𝑡 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎2 1 1 + 1 − − 𝑎2 − 𝑏 2 𝑥 − 𝑡 𝑥 + 𝑡 𝑎 2𝑏𝑐 𝑏 𝐺= ; 𝐻= ;𝐼 = ÷ ; 1 1 1 1 (𝑎 + 𝑏)2 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 2 + + 1 + 𝑎 𝑏 (𝑥 + 𝑡)2 (𝑥 − 𝑡)2 2𝑎𝑏 𝑎 𝑏 + + 1 𝑎2 − 𝑏 2 𝐽=𝑏 𝑎 × 3 1 1 𝑎 − 𝑏3 𝑎+𝑏 EXERCICE14 : 𝑥 𝑡 𝑧 On donne les expressions : 𝐴 = 𝑡+𝑧 ; 𝐵 = 𝑧+𝑥 ; 𝐶 = 𝑥+𝑡 𝑥2 𝑡2 𝑡2 Calculer les expressions : 𝑋 = 𝐴(1−𝐵𝐶) ; 𝑌 = 𝐵(1−𝐶𝐴) ; 𝑍 = 𝐶(1−𝐴𝐵) EXERCICE15 : On donne les expressions : 𝐴 = 1 1+ 𝑎 𝑏+𝑐 ;𝐵 = 1 𝑏 1+ 𝑐+𝑎 ; 𝐶= 1 1+ 𝑐 𝑎+𝑏 Calculer la somme A+B+C EXERCICE16 : Vérifier les identités suivantes : 1 1 1 a) (x+y+z)(𝑥 +.... »