Le sprint et les maths

« Pistes d’athlétisme, course à pied et contrôle optimal Amandine Aftalion Emmanuel Trélat How to build a new athletic track to break records, RSOS 2020 Pace and motor control optimization, Preprint 2020 Le contexte On se fixe une distance à courir : Comment optimiser son effort, gérer ses ressources et les contraintes pour faire le meilleur temps ? Pourrait-on améliorer les records avec une piste plus adaptée ? Usain Bolt, 2009 : 200m en 19.19s non battu depuis. Stades actuels (certifiés par l’IAAF) Longueur totale de la piste : 400m à 30cm du bord. Stade standard : ligne droite de 84.39m et demi-cercle Double Bend 1 Double Bend 2 Double bend construites pour contenir les stades de foot ou rugby. Différence entre les lignes Le 100m est en ligne droite même si la ligne droite ne fait pas 100m. 200m, départ dans le virage.

Le javelot nécessite une grande ligne droite. Largeur du couloir 1m22 Meilleurs : tirage au sort sur 3, 4, 5, 6 puis 7, 8 puis 1, 2. Equilibre entre : - force centrifuge, - attraction de celui devant Objectifs Construire un stade optimal : permettant de battre les records actuels ; réduisant les écarts entre les lignes ; contenant (éventuellement) des stades de football et de rugby. Méthodologie : Optimisation du stade : problème de type Dubins. Modèle de coureur, contrôle optimal. A la recherche du stade optimal Piste = courbe fermée dans le plan, de longueur donnée d. (d = 400m) La force centrifuge agit comme une contrainte qui limite la force de propulsion f : v4 f 2 + 2 ≤ fM2 R R : rayon de courbure en un point donné de la piste. But : minimiser le maximum de courbure le long de la piste. min max 1 R A la recherche du stade optimal Ce problème est lié au problème de Dubins.

De manière générale : Théorème Etant donnés deux points A et B dans le plan, et deux vecteurs de norme 1, eA et eB , la courbe de longueur d, reliant (A, eA ) à (B, eB ), et minimisant le maximum de courbure, est une concaténation d’arcs de cercle et de segments. A la recherche du stade optimal sans contrainte Piste = courbe fermée dans le plan, de longueur donnée d. (d = 400m) min max La piste optimale est un cercle de rayon 63m. 1 R A la recherche du stade optimal Ajout d’une contrainte : on impose, dans la courbe fermée, un segment de longueur donnée. min max 1 R Alors le stade optimal est de type standard : ligne droite et demi-cercle Plus la ligne droite est courte, plus le rayon du cercle est grand et meilleure est la performance.

A partir d’une ligne droite inférieure à environ 60m, la performance sur 200m est du même ordre qu’en ligne droite (au centième). A la recherche du stade optimal Problème contraint : trouver une courbe plane, fermée, contenant les stades de football et de rugby, et minimisant le maximum de courbure : 1 min max R A la recherche du stade optimal Problème contraint : trouver une courbe plane, fermée, contenant les stades de football et de rugby, et minimisant le maximum de courbure : 1 min max R Si on impose une ligne droite de 98.52m et une largeur plus grande que 72m, on est proche de la piste DB2. A la recherche du stade optimal Problème contraint : trouver une courbe plane, fermée, contenant les stades de football et de rugby, et minimisant le maximum de courbure : 1 min max R A la recherche du stade optimal Problème contraint : trouver une courbe plane, fermée, contenant les stades de football et de rugby, et minimisant le maximum de courbure : 1 min max R Performances d’un coureur sur ces pistes Repose sur le principe fondamental de la dynamique et la conservation d’énergie. Problème de contrôle optimal pour minimiser le temps final impliquant la vitesse v (t) du coureur la force de propulsion f (t) le contrôle u(t) sur la force de propulsion l’angle θ(t) par rapport à la verticale l’énergie anaérobie disponible e(t) σ(e) l’équivalent énergétique de la V̇ O2. Résultats numériques Les différents paramètres sont identifiés sur des données réelles : Michael Johnson, Atlanta 1996, stade standard, ligne 5. Selon les simulations numériques (IpOpt), Michael Johnson aurait fait mieux sur le stade optimal ! Stade standard Stade optimal Stade standard modifié Stade DB2 Ligne 1 19.37 19.30 19.305 19.52 Ligne 5 19.32 19.283 19.285 19.484 Autre avantage du stade optimal : la différence entre les lignes est significativement plus petite. Remarque : Les temps du stade standard modifié sont presque identiques à ceux du stade optimal. Performances d’un coureur - Modèle de base ẋ(t) = v (t) v (t) v̇ (t) = − + f (t) τ ė(t) = σ(e(t)) − f (t)v (t) x(0) = 0, x(tf ) = d v (0) = v0 , 0 6 f 6 fM , e(0) = e0 , e(t) > 0, e(tf ) = 0 e(t) : énergie anaérobie f (t) : force de propulsion. Keller 1974, σ(e) = σ̄. On peut montrer qu’on commence à force maximale, on termine à énergie nulle, arc singulier à vitesse constante. Améliorer le modèle de V̇ O2. Conduit à des variations de force trop importantes Keller 1974, Behncke 1994, Mathis 1989, Quinn 2009, Aftalion Bonnans 2014, Aftalion Martinon 2019 Performances d’un coureur - V̇ O2 La V̇ O2 dépend de la longueur de la course : croissant sur 200m, 400m, croissant puis décroissant sur 800m, atteint un plateau à partir du 1500. Dans notre modèle, on choisit de faire dépendre la V̇ O2 de l’énergie anaérobie résiduelle : fonction σ(e). Performances d’un coureur - Ligne droite Modèle de contrôle moteur Pessiglione 2016 et V̇ O2 ẋ(t) = v (t) x(0) = 0, x(tf ) = d v (t) v̇ (t) = − + f (t) v (0) = v0 τ   ḟ (t) = γ u(t)(Fmax − f (t)) − f (t) f (t) > 0 ė(t) = σ(e(t)) − f (t)v (t) e(0) = e0 , e(t) > 0, e(tf ) = 0. Rt u(t) : contrôle moteur.

On minimise tf + α 0f u 2 . σ(e) : dépend de la course. A partir de data de courses (timesplit), on peut identifier les paramètres mathématiques et ensuite prédire la stratégie. Différents niveaux de raffinement pour tenir compte des virages, de la psychologie, de l’effet à deux coureurs. Performances d’un coureur Pour optimiser son effort, on court le 100m au 400m en accélérant très fort,.... »