Catégorie : Mathématiques
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L'arithmétique
Un nombre n est divisible par un autre nombre m lorsqu 'il est le produit de ce dernier avec un troisième nombre : n=mp. Autrement dit le reste de la division euclidienne den par m est égal à O. Exemple: 8=4 x 2 +O. le nombre m est alors un diviseur den , et n est un multiple de m . Critères de divisibilité • Un nombre est divisible par 2 s 'il se termine par un chiffre pair (0, 2, 4, 6 , 8). • Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chif...
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Les nombres complexes
droites [OA) et [OM). Ces deux renseignements sur l'emplacement du point M sont les coordonnées polaires . Dans ce nouveau système, M a pour coordonnées (r, 6). Par analogie, on peut situer l'Opéra Garnier en disant qu'elle se situe à 2 km au nord-est de la Tour Eiffel. Ainsi, dans les coordonnées polaires , la première composante donne la distance à l'origine , quant à la deuxième elle indique la direction. On remarque que l'on doit avoir r 2: o. O...
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arithmetique
2 Lycée Pontus de Tyard708–709
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Etude et analyse des courbes en mathématique
le point Mo(Xo. f(Xo)) de la courbe correspondant. On considère un second point quelconque M(t f(t)) et la droite qui passe par ces deux points. Cette droite a pour coefficient directeur (f(t)-f(Xo))/(t-x.). qui correspond à la pente de I~ droite. Puis petit à petit, on rapproche M de Mo sur la courbe. La droite (MoM) varie en même temps que M, ainsi que son coefficient directeur . Si ce coefficient directeur admet une limite lorsque t tend vers...
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Les vecteurs
S i l 'une de ces 4 é gali té s e st vé rif ié e , l es 3 a utre s l e s ont aus si. B - S om me d e v ecte u rs O n pe ut dé fini r une addi ti on de s ve cte ur s qui a de s pr opr ié té s s em bl abl es à celle s de l'a ddi ti on de s nom bres. 1 - R ela tio n d e C hasle s Q ue ls que soi ent les poi nts A , B e t C : AC= AB BC L e ve cte ur AC e st l a s om me de s ve cte ur s AB e t BC . R em ar qu e O n pe ut int erpr éte r l a r ela ti on de Cha sle s...
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Spieltheorie - Mathematik.
3 ARTEN VON SPIELEN Die Spieltheorie unterscheidet eine Vielzahl von Spielen, je nachdem, wie viele Spieler beteiligt sind und unter welchen Bedingungen gespielt wird. 3.1 Spiele für eine Person Spiele wie z. B. Patience sind Spiele für eine Person, in denen es keinen wirklichen Interessenkonflikt gibt. Bei Patience spielen nur die Zufallsstruktur des gemischtenKartenspieles und das Verteilen der Karten eine Rolle. Zwar können bezüglich der Wahrscheinlichkeit Spiele für eine Person durchaus ko...
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Statistik - Mathematik.
Wertet man die Punkte aus, die von zehn Klassen zu je 30 Schülern in je vier Prüfungen erzielt wurden, das sind insgesamt 1 200 Zahlen, so ist die Datenmenge zu groß,um wie in Abbildung 1 zweckmäßig dargestellt zu werden. Der Statistiker teilt daher die Daten in Gruppen oder Klassen ein. Beispielsweise könnten die 1 200 Zahlen aufzehn Intervalle verteilt werden, so wie in Spalte (a) der nebenstehenden Tabelle der Häufigkeitsverteilung. Die Anzahl der Punkte in einem Intervall, Klassenhäufigkeitg...
- Vektor - Mathematik.
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Zahl - Mathematik.
Die komplexen Zahlen sind wiederum bezüglich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division abgeschlossen. Diese Operationen lassen sich in der Gauß’schenZahlenebene sehr schön geometrisch beschreiben. Die komplexen Zahlen bilden den Ausgangspunkt für die Theorie von Funktionen mit komplexen Argumenten und komplexen Werten ( siehe Funktionentheorie), eine der großen Schöpfungen des 19. Jahrhunderts. Die Bedeutung der komplexen Zahlen liegt vor allem darin, dass nicht nur alle Gleichungen x...
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Algebra - Mathematik.
abstrakten Ansatz beeinflusst, verfasste George Boole The Laws of Thought (1854), eine algebraische Abhandlung der grundlegenden Logik (Boole’sche Algebra). Niels Henrik Abel (1802-1829)Porträt des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel, der u. a. grundlegende Arbeiten über die Auflösungstheorie algebraischerGleichungen lieferte. Abel starb im Alter von 26 Jahren an Tuberkulose.Roger Viollet/Getty Images Die Axiomatisierung erfasste in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts unter den H...
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Euler'sche Zahl - Mathematik.
y.Ein Nebenresultat ist die verblüffende Beziehung e i p = -1 zwischen e und p. Bearbeitet von:M&PHY MünchenMicrosoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten.
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Funktionalanalysis - Mathematik.
Sie können das selbst mit dem Taschenrechner ausprobieren: Geben Sie eine Zahl, beispielsweise 0, ein und drücken dann immer wieder auf die cos-Taste (Winkel im Bogenmaß rad eingestellt). Nach einer Weile wird sich dieangezeigte Zahl nicht mehr ändern. Sie haben eine (Näherungs-)Lösung der transzendenten Gleichung cos( x) = x, nämlich 0,739085133215 … gefunden. Verfasst von:Eckart MausMicrosoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten.
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Grundlagen der Geometrie - Mathematik.
Georg Riemann). In dieser Geometrie braucht beispielsweise die Winkelsumme sehr großer Dreiecke nicht mehr 180 Grad zu betragen. Dass all dies keine mathematischen Spielereien sind, zeigt z. B. die Tatsache, dass nach der allgemeinen Relativitätstheorie unser Weltraum nicht euklidisch ist, sondern dieStruktur einer Riemann’schen Geometrie trägt. Ordnet sich auch der Begriff von Geometrie nunmehr dem allgemeinen Prinzip axiomatischer Beschreibung mathematischer Strukturen unter, so bleibt doch di...
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Grundlagen der Mathematik - Mathematik.
Satz des PythagorasIn den abgebildeten rechtwinkligen Dreiecken sind nach dem Pythagorassatz die Flächenquadrate über den beiden Katheten A und Bzusammen genauso groß wie das Flächenquadrat über der Hypotenuse C. Es gilt: A 2 + B 2 = C 2.© Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten. Die Griechen übernahmen Elemente der Mathematik sowohl von den Babyloniern als auch von den Ägyptern. Neu bei den Griechen war jedoch die Einführung einerabstrakten Mathematik, die sich auf logische Strukturen vo...
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Körper - Mathematik.
Die Subtraktion ist durch die Regel 4 definiert, d. h., a - b = a Å (-b). Die Division ist durch die Regel 5 definiert, d. h., a ÷ b = a Ä b-1, für b ungleich Null. 4 BEISPIELE In der Einleitung wurde bereits der Körper Q der rationalen Zahlen genannt. Da jede rationale Zahl auch als Dezimalzahl geschrieben werden kann, ist der Körper der rationalen Zahlen im Körper der reellen Zahlen enthalten. Wenn ein Körper in einem anderen enthalten ist und die gleichen Operationen verwendet, so nenn...
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Logarithmus - Mathematik.
Der pH-Wert ist der Logarithmus der Ionenkonzentration.Zur graphischen Darstellung von Funktionen, deren Wertebereich sehr große Zahlen umfasst, benutzt man logarithmische Skalen. Für die Darstellung der Exponentialfunktion y = ax trägt man z. B. statt der y-Werte deren Logarithmen Y = lg y auf. Die Exponentialfunktion wird bei dieser Darstellung dann die Gerade Y = lg a×x mit dem Anstieg lg a. Entsprechend wählt man für die Darstellung der Potenzfunktion y = xa für x und y logarithmisc...
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Mengenlehre - Mathematik.
Die folgenden Sätze sind grundlegende Folgerungen der obigen Definitionen, wobei A, B, C, … Teilmengen einer Menge L darstellen: 1. A È B = B È A (Kommutativität der Vereinigung). 2. A Ç B = B Ç A (Kommutativität des Schnitts). 3. (A È B) È C = A È (B È C) (Assoziativität der Vereinigung). 4. (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) (Assoziativität des Schnitts). 5a. A È (B Ç C) = ( A È B) Ç (A È C). 5b. A Ç (B È C) = ( A Ç B) È (A Ç C) (Distributivgesetze). 6. Wenn A Í B und B Í C, dann A Í C. 7. A Ç B...
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Arithmetik - Mathematik.
3.3 Distributivgesetze Für das gemeinsame Rechnen mit Addition und Multiplikation gelten die Distributivgesetze: a · (b + c) = a · b + a · cund (a + b) · c = a · c + b · c.Dabei gilt immer die Regel: „Punktrechnung geht vor Strichrechnung” und „was in der Klammer steht, wird zuerst ausgewertet”. Aus den Klammerregeln folgen auch die Regeln für das Multiplizieren mit negativen Zahlen: (-1) · a = -a, (-a) · b = -a · b, (-1) · (-1) = 1, (- a) · (- b) = a · b. Zur Arithmetik im engeren Sinn geh...
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Determinante - Mathematik.
Diese Ausdrücke können entsprechend der oben angeführten Definition der Determinante zweiter Ordnung berechnet werden. Da dieses Verfahren sehr aufwendig sein kann, nutzten Mathematiker einige Eigenschaften von Determinanten, um die Anzahl der erforderlichen Rechnungen zu reduzieren.Zu diesen Eigenschaften gehören u. a. folgende: (1) Eine Determinante ist gleich null, wenn alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) gleich den mit einem festen Faktor multiplizierten Elementen einer anderen Zeile (od...
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Differential- und Integralrechnung - Mathematik.
Steigung einer KurveDie Steigung der Kurve in dem Punkt A wird durch die Steigung der dort anliegenden Tangente T beschrieben. Rein rechnerisch ergibtsich die Steigung durch die Konstruktion des Steigungsdreiecks ABC. Sie entspricht dem Quotienten aus der Strecke k und derStrecke h.© Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten. Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit dem Anstieg einer Funktion y = f(x). So könnte z. B. x für die Zeit stehen und y für die Entfernung, die von einem sic...