« Physique TS : Tronc commun ptstp10be page 2/4 II) Premier essai de modélisation avec F = - k.v 1) L'équation différentielle : En remplaçant par les expressions des fo rces, la relation (1) devient : ou a y + (k m ).v y - g + ρ eau.V.g m = 0 (par la suite nous remplacerons v y par v) soit : dv dt + k m .v - g + ρ eau.V.g m = 0 ou bien dv dt + k m .v = g(1 - ρ eau.V. m ) = A (A étant une constante) En posant B = k m , la relation devient : dv dt + B.v = A (2) 2) Détermination des constantes : La constante A peut se calculer, puisque tous les paramètres sont connus.

A = Détermination de B : Lorsque le solide atteint sa vitesse limite, quelle est la valeur de dv dt ? En utilisant l'équation différentielle (2) quelle est alors l'expression de B ? En déduire sa valeur en utilisant v lim donné par le graphique v = f(t) 3) La méthode d'Euler : A la date t i , admettons que l'on connaisse les valeurs de v i et de y i .

Calcul de a y : a i = -(k/m).v i + g - ρ eau.V.g m = A - B.v i A la date t i+1 = t i + δ t , quelles sont les nouvelles valeurs de v i ? Admettons que pendant la durée δ t ( pas de discrétisation temporelle ou pas de résolution ), on puisse considérer a i = constante Calcul de v y : v i+1 = a i.δt + v i = Ces nouvelles valeurs de v y nous servent à initialiser un nouveau calcul de a y ...etc...

Indication : Le premier calcul de a y est effectué à partir des conditions initiales (t 0 , v 0 , y 0) figurant dans l'énoncé du problème.

4) Résolution à l'aide du tableur Excel.

On se propose de modéliser la chute verticale d'une fiche banane dans l'eau a) Préparation de la feuille de calcul Ouvrir le fichier chute1npxl Entrer sur les 2 premiè res lignes : - les données numériques ( ρ eau, m; V, g) - le calcul de A et de B (On peut nommer les cellules : menu Insertion puis Nommer et Définir) - le pas de discrétisation temporelle ( δt = 0,05 s)).. »