La géométrie est l'étude des invariants de transformation.

Lorsque nous disons, au sujet d'un angle, appartenant à une figure que nous traçons au tableau : « Cet angle est égal à la moitié d'un angle droit «, nous exprimons, sans aucun doute, une propriété géométrique ; si, par contre, nous disons : « Un tel segment est égal à la moitié d'un mètre «, personne ne soutiendra que ceci est l'énoncé d'une propriété géométrique. Quelle différence fondamentale y a-t-il donc entre ces deux propositions ? Si un étudiant reproduisait dans son cahier, à échelle réduite, la figure qu'il voit au tableau, la première propriété se retrouverait dans son dessin : la seconde, par contre, ne subsisterait pas. Cela est dû à ce que la première propriété n'est pas détruite par un changement d'échelle, tandis que la seconde ne se conserve pas après une telle opération. Cette différence est essentielle. De même, la propriété d'une ligne de la figure d'être verticale n'est pas une propriété géométrique, parce qu'après un déplacement cette propriété n'est, en général, pas conservée ; mais l'orthogonalité de deux droites n'est pas altérée par un déplacement et constitue une propriété géométrique. Le fait qu'un point A est situé à droite d'un point B n'est pas une propriété géométrique, parce que, lorsqu'on regarde ces points dans une glace, le point A vient se placer à gauche du point B ; par contre, si le point C est situé entre les points A et B, ce point C reste situé entre les points A et B après une réflexion (c'est-à-dire après le passage à la figure symétrique), et ceci est une propriété géométrique. Un déplacement, un changement d'échelle, une réflexion d'une figure peuvent être groupés ensemble sous le nom de similitude, c'est-à-dire du passage d'une figure à une autre figure semblable. Dans un mémoire célèbre paru en 1872, et généralement connu sous le nom de Programme d'Erlangen, Félix Klein (1849-1925) a donné de la géométrie, ou, plus exactement, d'une géométrie, à peu près la définition suivante : « Une géométrie est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées lorsqu'on fait subir à une figure toutes les transformations appartenant à un groupe donné. « A chaque groupe de transformations correspond une géométrie distincte. Ainsi, par exemple, la géométrie élémentaire est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées après qu'on a fait subir à une figure une similitude quelconque. Il est facile de voir, d'ailleurs, que toutes les similitudes forment un groupe, si l'on appelle produit de deux similitudes, ces deux similitudes effectuées l'une après l'autre ; la succession de deux similitudes est, en effet, une similitude. GUSTAVE VERRIEST.